Бюджетні множини й лінії бюджетного обмеження

Розглянемо n-вимірний простір товарів С. Нехай задано вектор цін р = (р, р,…р ).Тоді ціна набору товарів х = (х, х, … ,х) є скалярним добутком цих векторів .

Для простоти розглянемо простір двох товарів. Легко побачити, що набори товарів, котрі мають однакову ціну c(x), це множина точок, які утворюють частину прямої L_с , заданої рівнянням p₁ x₁ + p₂ x₂ = c і розміщеної в першому квадранті (оскільки х₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0) перпендикулярно до вектора цін (рис.4).

Якщо с₁ < c, то пряма L_с ,задана рівнянням р₁ х₁ + р₂ х₂ =с₁, паралельна прямій L_с і лежить ближче до початку координат (рис. 3).

Рис. 3

Нехай зафіксовано деяку грошову суму R, яку ми називатимемо бюджетом (або доходом).

Означення. Множину всіх наборів товарів, ціна яких не перевищує R, називають бюджетною множиною й позначають В (р, R).

Бюджетну множину можна визначити за допомогою звичайних або векторних нерівностей

B(p, R) = {x є C: p₁ x₁ + p₂ x₂ ≤ R , x₁ ≥ 0 , x₂ ≥ 0}

або

B(p, R) = {x є C: p∙ x ≤ R, x₁ ≥ 0 , x₂ ≥ 0}

Означення. Межею бюджетної множини G називають множину наборів товарів, які мають ціну, рівну R.

Межу бюджетної множини можна визначити за допомогою звичайних або векторних рівностей

G(p, R)={ x є С: p₁ x₁ + p₂ x₂ = R } або

G(p, R)={ x є С: p∙ x= R }

Якщо простір товарів дво- або тривимірний, то бюджетну множину можна зобразити наочно.

Приклад.Розглянемо бюджетні множини за різних цін р і бюджетів (або доходів) R.

Якщо задано бюджет R = 20 умов. грош. од. і вектор цін р = (2; 1), то бюджетна множина задається нерівністю 2х₁ + х₂ ≤ 20, х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Будуємо межу бюджетної множини: це буде пряма, задана рівнянням , (рис.4).

Враховуємо, що х ≥ 0, х ≥ 0.

У випадку, коли R = 40, а р = (2;1) (рис.5), бюджетна множина

B (p,40) = {(x₁ , x₂ ): 2x₁ + x₂ ≤ 40 , x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 },

а її межа G (p,40) = {(x₁ , x₂ ) : }.

При R = 20і р = (1; 2) (рис. 5) бюджетна множина B(p, 20) = {(x₁ , x₂ ): x₁ + 2x₂ ≤ 20, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0}. а її межа G (p,20) = { (x₁ , x₂ ): }.

 

 

Рис. 4

Якщо R = 60 і р = (1;2) бюджетна множина B(p, 60) = {(x₁ , x₁ ): x₁ + 2 x₂ ≤ 60, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0}, а її межа G (p ,60) = {(x₁ , x₂ ): }.

 

 

Рис. 5

 

Із рисунків видно, що межею бюджетної множини буде відрізок між осями координат у першому квадранті, перпендикулярний до вектора цін.

У тривимірному просторі товарів бюджетна множина буде тригранною пірамідою, а її межа – однією з граней піраміди, частиною площини, що розміщена в першому квадранті.

Очевидно, що бюджетна множина B (p, R) залежить від цін р і бюджету (доходу) R. У разі збільшення бюджету R межа бюджетної множини паралельно рухається в напрямі від початку координат. За зменшення цін бюджетна множина також збільшується.

На завершення зазначимо, що поняття, які було введено в цьому пункті, використовуються в теорії оптимального планування, лінійного програмування та в мікроекономіці.