Функціональні відношення

Лекція 3. Відображення і функції

У попередній лекції ми розглянули бінарні відношення, які є підмножинами декартового добутку двох множин. Бінарні відношення, які визначені на декартовому квадраті множини, представляють найбільший інтерес через те, що вони володіють деякими важливими властивостями: симетричність, рефлективність, транзитивність тощо. Для відношень, що утворені різними множинами, коли R = A´B, говорити про зазначені вище властивості не має сенсу, тому що перша та друга координати R мають різну природу. Наприклад, відношення “х народився в році y” є підмножиною декартового добутку множини людей та множини років і ставить у відповідність кожній людині рік її народження. Для аналізу подібних відношень вводяться поняття відображення та функції.

Означення 3.1 Відношення fÌА´В називається функціональним (або просто функцією), якщо виконується наступне:

"a (a,b)Îf та (a,c)Îf Þ b=c.

Іншими словами, кожному aÎA: (a,b)Îf відповідає один і тільки один елемент bÎB.

Іноді функціональне відношення f також позначають у префіксному записі: b = f(a), де aÎA, bÎB.

Область (множина) визначення функції буде наступна множина:

Dom f == {aÎA | $ bÎB, b = f(a)}.

Область (множина) значень функції буде наступна множина:

Im f == {bÎB | $ aÎA, b = f(a)}.

Очевидно, для функціонального відношення f кожний переріз за будь-яким aÎA містить не більше як один елемент. Якщо a Ï Dom f , то переріз за а – порожній.

Якщо Dom f = А, то функціональне відношення f називається всюди визначеним. Матриця функціонального відношення містить у кожному рядку не більше як один одиничний елемент, а його граф характеризується тим, що з кожної вершини може виходити тільки одна дуга (враховуючи й петлі).

Наприклад, розглянемо множини А = {1,2,3,4} та B = {1, 4, 9, 16, 25}, тоді відношення R = {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)} та Q = {(1,1), (2,4), (3,4), (4,16)} є функціональними. Відношення P = {(1,1), (1,4), (3,9)}, навпаки, не є функціональним.

Розглянемо інший приклад – українсько-англійський словник. Він установлює відповідність між множиною українських та англійських слів. Ця відповідність не є функціональною (оскільки одному українському слову, як правило, ставляться у відповідність декілька англійських слів); крім того, вона практично ніколи не є повністю визначеною: завжди можна знайти українське слово, що не міститься в цьому словнику.

Усяке функціональне відношення можна розглядати як функцію. При цьому перша координата а впорядкованої пари (а,b)Îf є прообразом (аргументом, змінною), а друга b – образом (значенням). Потрібно розрізняти функцію f як множину впорядкованих пар (відношення) і значення функції b = f(a) як другу координату однієї з таких пар.

Слід зазначити, що відношення, обернене до функціонального, загалом не є функціональним. У розглянутому вище прикладі відношення Q є функціональним, але обернене йому відношення Q^-1 = {(1,1), (4,2), (4,3), (16,4)} не є функціональним.

Якщо функціональне відношення fÌА´В всюди визначене на А, то його називають відображенням множини А в В і записують f : A ® B. Очевидно, що різниця між відображенням та функцією зводиться до способу означення цих відношень на множині А, причому відображення потрібно розглядати як окремий випадок функції. Більшість математиків не розрізняють поняття відображення і функції.