Критерии принятия решения.

Выбор критериев и их анализ является одной из основных задач при решении многокритериальных задач. Критерии очень сильно зависят от системы предпочтений ЛПР. То есть в случае многокритериального анализа необходимо:

1. Чётко сформулировать цель, задачу и требуемый результат.

2. Классифицировать характеристики вариантов.

3. Беспристрастно выбрать критерии.

Критерий должен позволять ответить на один из следующих вопросов:

1. Является ли альтернатива допустимой: может ли она при условии, что остальные будут хуже, рассматриваться как решение?

2. Является ли альтернатива удовлетворительной, иначе говоря, можно ли её рассматривать в качестве решения задачи независимо от других альтернатив?

3. Какая из двух сравниваемых альтернатив лучше?

4. Является ли альтернатива оптимальной?

Критерии, отвечающие на вопросы первого или второго типов, называются критериями допустимости. Критерии, отвечающие на вопросы третьего и четвертого типов, - критериями оптимальности (сравнения).

Различия между двумя этими типами очень интересны. Как правило, если человека просят сформулировать критерий, то предлагают критерий допустимости, так как такие критерии проще формулировать. Но использование только критериев допустимости не позволяет сравнивать хотя бы две альтернативы, если они обе допустимы. В этом случае потребуется критерий оптимальности. Чтобы оценить альтернативу по критерию допустимости, нужна только сама эта альтернатива. Для оценки по критерию оптимальности нужны, по крайней мере, две альтернативы, чтобы их можно было сравнить.

Введение в задачу дополнительного критерия допустимости сужает множество допустимых вариантов решения. Дополнительный критерий оптимальности расширяет множество вариантов решения, заслуживающих детального рассмотрения с учётом значения, придаваемого каждому критерию.

Следует отличать критерий принятия решения от показателя. Часто говорят: «Критерием выбора решения является прибыль». Строго говоря, прибыль – это показатель функционирования предприятия. Критерий как инструмент, позволяющий ответить на один из выше перечисленных четырёх вопросов, должен содержать требование к значению этого показателя. Например, прибыль должна быть максимально возможной или прибыль должна быть не меньше определённой величины.

Критерии не должны быть сами по себе, они должны исходить из цели, преследуемой при решении задачи.

Отсюда следуют следующие требования к критериям:

a. Соответствие цели и задаче.

b. Критичность. «Чувствительность» к изменению варианта выбора.

c. Вычислимость критериев.

d. Полнота и минимальность.

e. Декомпозицируемость, то есть, чтобы можно было рассматривать каждый критерий независимо от других.

Отсюда вывод, на практике при необходимости решить сложную задачу, связанную с выбором одной из множества альтернатив, анализ начинают с того, что пытаются составить список критериев, которые должны быть приняты во внимание при решении задачи. Делать этого не надо. Начинать надо с составления перечня целей, которые мы преследуем, решая задачу выбора. И только от него переходить к перечню критериев. Такая последовательность действий, во-первых, позволит контролировать соответствие формируемого списка критериев целям, которые мы преследуем, решая задачу. Критический анализ списка критериев, составленных до формулировки целей, нередко показывает, что на одну из целей работают два – три критерия, а другая, не менее важная, - совсем не представлена в их перечне. Во-вторых, эта последовательность действий естественно подталкивает к тому, чтобы рассмотреть альтернативные варианты критериев исходя из поставленных целей.

Например, при приёме на работу определена цель: найти на определённую должность работника с большим опытом работы. Очевидный критерий стаж, скажем не менее 5 лет (что не всегда даёт знание об опыте этого претендента на должность), но, исходя из цели, можно взять и другие критерии – количество подчинённых, стоимость проектов, выполненных под его руководством и т.д. Попросить дополнить самостоятельно.

Для оценки по критериям существуют шкалы непрерывных, дискретных, количественных и качественных (лучший, худший, промежуточный) оценок альтернатив.

Виды шкал оценки критериев:

1. Шкалы категорий «качественные – количественные»

2. Шкалы категорий «непрерывные – дискретные»

3. Шкалы порядка – оценки упорядочены по возрастанию или убыванию качества (например, уровень шума в аудитории: тихо, средне, очень шумно).

4. Шкалы равных интервалов – интервальная шкала. Имеются равные интервалы между оценками (вспомнить диаграммы в EXCEL). Особенности – начало отсчёта выбирается произвольно, так же как и шаг. Например: средняя осенняя температура, начинается с 5^о, и сравнивается с точностью до градуса, до 0,5 градуса... Классификация банков по количеству выданных долгосрочных кредитов. Попросить самих привести примеры.

5. Шкала пропорциональных оценок – идеальная шкала. Шкала, в которой отсчёт начинается с установленного заранее значения. Температура: шкала Цельсия, Кельвина. Стоимость, вес и т.д.

В ТПР в основном используются шкалы 3 и 5.

Из выше сказанного можно сделать вывод, что первым шагом при принятии решения является систематизация задачи, в MBA часто предлагают заполнить следующую таблицу:

Как уже отмечалось, анализ решений при многих критериях в значительной степени сводится к организации в той или иной форме взаимодействия с ЛПР, которое одно только может решить проблему соизмерения различных критериев. Но существует довольно ограниченная область, в которой применение сугубо формального анализа без обращения к ЛПР даёт возможность отбросить часть альтернатив, то есть изначально упростить задачу выбора для ЛПР. То есть можно выделить множество эффективных, или оптимальных по Парето, альтернатив.

Оценка эффективности альтернатив

Эффективной (оптимальной по Парето) называется такая альтернатива, для которой не существует другой допустимой, не уступающей ей по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходящей её альтернативы.

Понятно, что альтернатива, не являющаяся эффективной, ни при каких условиях не может рассматриваться в качестве решения, так как существует другая альтернатива превосходящая её. Отсюда вытекает важнейший критерий рациональности процесса разработки и принятия решения: выбираемый вариант должен быть эффективным.

Рассмотрим задачу нахождения множества эффективных решений на заданном множестве альтернатив в наиболее простом дискретном случае. Есть заданный набор вариантов решения, из которых надо сделать выбор. Пусть для каждого из критериев, учитываемых при принятии решения, предпочтительнее большее значение. Построим матрицу сравнения альтернатив, в которой в i-й строке, j-м столбце будем ставить 1, если i-я альтернатива доминирует j-ю (то есть первая превосходит вторую хотя бы по одному критерию, а по остальным не уступает ей). Рассмотрим матрицу с данными по 6 альтернативам, оцениваемым по 5 критериям.

Результаты попарного сравнения шести альтернатив

Мы получили два столбца, где есть 1: первая и четвёртая альтернативы, поэтому они не являются эффективными и от них можно отказаться. Парето-оптимальные в нашем случае вторая, третья, пятая и шестая. ЛПР может теперь выбрать одну из них. Но строить из них комбинации, даже в тех случаях, когда такая комбинированная альтернатива имеет смысл, нельзя. Она может оказаться неэффективной и не должна рассматриваться в качестве решения без дополнительного исследования.

Выделение множества Парето можно рассматривать лишь как предварительный этап оптимизации, и налицо проблема сокращения этого множества.

В дальнейшем можно использовать следующие принципы принятия решений (предполагается, что все критерии нормализованы, то есть приведены к одному часто безразмерному масштабу). Нормализация может быть проведена, например, делением каждого значения критерия на сумму всех значений этого критерия по всем альтернативам.

Принцип равномерности.

Принцип равномерности заключается в стремлении к равномерному и гармоничному улучшению решения по всем локальным критериям. Имеются следующие разновидности этого принципа

1. Принцип равенства. Наилучшим решением является такое, при котором достигается равенство всех локальных критериев. Данный принцип очень жёсткий и может приводить к решениям вне множества эффективных решений и даже не иметь их (особенно в дискретных случаях).

2. Принцип максимина. Идея равномерности состоит в стремлении повышать уровень всех критериев за счёт максимального подтягивания наихудшего (имеющего наименьшее значение) критерия.

3. Принцип квазиравенства. Решение считается наилучшим, если значения отдельных критериев отличаются друг от друга не более, чем на величину d.

Принцип справедливой уступки.

У этого принципа следующие разновидности.

1. Принцип абсолютной уступки. Наилучшим считается решение, при котором суммарный абсолютный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного уровня повышения других.

2. Принцип относительной уступки. Наилучшим считается такое решение, при котором суммарный относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит относительного суммарного уровня повышения по остальным критериям.

Принцип выделения главного критерия.

Из совокупности локальных критериев выбирается один и принимается в качестве главного. К уровню других критериев предъявляется требование, чтобы они были не меньше некоторых заданных значений, образуя область, в которой ищется решение наилучшее в смысле главного критерия. Можно использовать метод линейного программирования, выбрав целевой функцией главный критерий, а остальные использовать в качестве ограничений.

Принцип последовательной уступки.

Предположим, что локальные критерии расположены в порядке убывания важности. Процедура поиска наилучшего решения сводится к следующему. Сначала ищется решение наилучшее в смысле критерия f1. Затем, исходя из некоторых практических соображений и точности первоначальных данных, назначается некоторая «уступка» Df1, которую мы согласны допустить для того, чтобы найти решение, наилучшее в смысле критерия f2. Далее описанная процедура повторяется для оставшихся критериев. Такой способ хорош тем, что сразу видно, ценой какой уступки в одном критерии приобретается выигрыш в другом.

Функции ценности

Ещё одним алгоритмом решения многокритериальных задач является построение функции ценности.

Функция ценности – это любая функция, определённая на множестве альтернатив, такая, что для более предпочтительной альтернативы значение функции ценности больше.

При создании такой функции вопросы ЛПР задаются таким образом, что отвечая на них, он указывает коэффициенты важности или значимости каждого из критериев. За интегральный показатель качества альтернативы принимается сумма значений отдельных критериев, умноженных на коэффициент важности. С математической точки зрения такая сумма частных критериев , взятых с коэффициентом важности, есть не что иное, как функция ценности.

Если спросить работающих, применяют ли они эту функцию в практике, то большинство ответят отрицательно. Но здесь терминологическая трудность, так как если спросить сталкивались ли они с необходимостью оценки рейтинга товара или предприятия по нескольким показателям, или приходилось ли им подсчитывать обобщённую оценку варианта решения, суммируя отдельные его показатели, умноженные на значения их ценности, то большинство ответят утвердительно. Но все эти показатели и есть функция ценности.

Мы говорим о линейной зависимости от показателей, хотя в общем случае такая зависимость может быть произвольной, но на практике в основном используются именно такие зависимости, и функция ценности в этом случае называется аддитивной.

Надо учитывать, что таким образом определённая функция будет давать правильный выбор только в том случае, если критерии, которые использовались для оценки альтернативы, обладали свойством взаимной независимости по предпочтению.

Два критерия являются взаимно независимыми по предпочтению, если предпочтительность одного из двух значений первого критерия не зависит от того, какое значение принимает при этом второй, и наоборот.

Обратите внимание, говорится не о предпочтительности той или иной альтернативы, а о предпочтительности того или иного значения критерия.

Пример. Хотим найти эксперта в маркетинговый отдел компании, считаем необходимым возможно больший российский и зарубежный опыт работы, но хотим, чтобы отечественный опыт был обязательно больше зарубежного. Берём в качестве критериев стаж работы по специальности за рубежом и в России. Понятно, что кандидат, имеющий три года отечественного и три года зарубежного стажа предпочтительнее, чем тот, который имеет стаж по году. Однако, если при прочих равных, мы сравниваем первого кандидата с кандидатом, имеющим три года отечественного и пять лет стажа за рубежом, то предпочтительнее первый. Оба достаточно опытны, но у второго больше зарубежный стаж, который может быть не вполне адекватен нашим условиям. То есть опыт работы за рубежом зависит по предпочтению от критерия опыт работы в России. Если же мы будем приписывать этому опыту какие либо веса важности, то при любом раскладе второй предпочтительнее первого. То есть свёртка критериев в этом случае не работает.

Задача. Выбор дачи для летнего отдыха. Пусть есть два варианта А и В. Они оцениваются по трём критериям: качество дачи, наличие магазина недалеко от дачи, расстояние от города.

Вполне возможно, что альтернатива А предпочтительнее альтернативы В, если по критерию «расстояние от города» оба варианта имеют оценку «Дача расположена недалеко от города». В то же время, если оба варианта имеют по последнему критерию оценку «Дача расположена далеко от города», вариант В может оказаться предпочтительнее варианта А.

Отсюда вывод: функция ценности правильна, если она диктует тот же выбор, который делает ЛПР.

Оценим положительные и отрицательные стороны применения этой методики.

Последовательность решения задачи с использованием аппарата функции ценности такова:

1. С учётом положительных и отрицательных сторон применения функции ценности анализируется целесообразность использования этой в целом непростой и трудоёмкой методики.

2. Формируется перечень критериев решения. Они делятся на критерии допустимости и критерии оптимальности. Именно последние будут участвовать в дальнейшем в построении функции ценности.

3. Состав критериев оптимальности оценивается на предмет их сопоставимости по важности, наличия между ними отношения зависимости по предпочтению. Последнее существенно для выявления возможности построения функции ценности в наиболее простом и удобном виде – аддитивном.

4. При положительном решении о возможности построения аддитивной функции эксперта (ЛПР) просят ответить на вопросы об относительной важности (значимости) отдельных критериев. Определяются веса критериев.

5. На ограниченной репрезентативной выборке проверяется соответствие построенной функции ценности системе предпочтений ЛПР. Для этого ЛПР сначала просят упорядочить несколько реальных вариантов решений, а затем оценивают их с помощью построенной функции ценности. Если полученные ранжировки совпадают, то выведенная формула пригодна для использования на более широком множестве вариантов. В противном случае ЛПР просят проверить веса критериев, или уточнить: насколько ЛПР может уступить в главном критерии, чтобы улучшить следующий по важности и т.д., пока не получат функцию ценности дающую адекватные с ЛПР результаты при выборе решения.

Для этого существуют специальные программы, но они, как правило, созданы под решение конкретной задачи, например, французской консультативной фирмой SEMA предложена модель, характеризующая изменения со временем состава персонала большой организации и продуктивности её работы. Модель применялась для прогнозирования последствий различных вариантов управления кадрами организации.

Метод анализа иерархий (метод аналитической иерархии)

Метод , предложенный американским специалистом Томасом Саати оказался одним из наиболее востребованных методов принятия решений при многих критериях и будет подробно рассмотрен нами в следующих лекциях.

Метод многовариантной свёртки. DEA (data envelopment analysis)

Позволяет ранжировать альтернативы, оптимальные по Парето (впервые предложен в 1978 году). Формально описывается следующим образом – имеется k решений (альтернатив). Каждое из решений характеризуется вектором затрат ресурсов l_k1, l_k2, l_k3 … l_km, где k – номер альтернативы, m – номер ресурса, и вектором производимых полезных эффектов q _k1, q _k2, q _k3 … q _kn ,где k – номер альтернативы, n – номер полезного эффекта. Ресурсы оцениваются с весами x_m, а эффекты с весами y_n. Эффективность k-го объекта может быть оценена как отношение суммы полученных эффектов к сумме затраченных ресурсов

Исходная задача формулируется так: исследовать, возможно ли при соответствующем подборе весов, в которых оцениваются затраты ресурсов и полезные эффекты, считать данное решение эффективным. Этого, конечно, можно добиться за счёт завышения оценок эффектов и занижения оценок затрат. Такая «эффективность» не имеет смысла. Поэтому вводится ограничение: система оценок ресурсов и оценок эффектов должна быть такой, что для каждого из решений ценность эффектов не должна превышать ценности затраченных ресурсов. Оценка эффективности при этом будет сравнительной, а при изменении состава решений может измениться оценка любого из них.

В настоящее время имеется несколько программных продуктов, реализующих эту методологию. Например, пакет Frontier Analyst («Анализатор границы» - имеется в виду эффективная граница) от компании Banxia Software.

Метод замещений

Метод замещений представляет собой простой, но эффективный алгоритм принятия решений в задаче со многими критериями и дискретным набором возможных вариантов решения. Метод предложен Говардом Райфом и Ральфом Кини (его наиболее известная форма), хотя в его основе лежит идея, высказанная ещё Бенджамином Франклином. Сейчас широко применяется в психологии – делят листок пополам и выписывают все «за» для данной альтернативы в одной половине листа, а «против» в другой. Затем, когда встречаются два аргумента, по одному на каждой стороне (т.е. за и против), которые представляются в равной степени важными, то их вычёркивают. Затем, если находится аргумент «за» равный двум «против» по важности, то вычёркивают все три, затем ищут два равные трём и т.д. Продолжая таким образом, в конечном счёте приходят к некоторому шагу. Франклин назвал такой способ моральной или пруденциальной алгеброй.

Суть метода сводится к следующему. Варианты решения сводятся в таблицу:

В терминах этой таблицы задача заключается в вычёркивании столбцов до тех пор, пока не придём к единственному решению. Для того, чтобы вычеркнуть столбец у нас может быть одно из двух оснований: ситуация формального доминирования или ситуация практического доминирования.

Формальное доминирование – столбец можно вычеркнуть, если в таблице имеется другой столбец, не уступающий ему ни по одному критерию, а по некоторым превосходящий его.

Практическое доминирование – столбец можно вычеркнуть, если он, уступая какому-то другому столбцу по целому ряду существенных критериев (или имея такие же оценки), превосходит его формально по каким-то показателям, совокупная важность которых и (или) степень превосходства по которым незначительны. Здесь, очевидно, требуется экспертное суждение ЛПР.

После удаления таких столбцов, скорее всего останется не одно решение, а несколько. В этом случае вычёркивают строку, в которой у всех вариантов одно и то же значение (такое бывает редко) или почти однородна (лишь у нескольких вариантов значения отличаются от остальных). Просто зачеркнуть в последнем случае строку нельзя, чтобы подогнать её к однородной, в выделенном столбце, если оценка хуже общей, надо одновременно с вычёркиванием ухудшить оценки по каким-то другим критериям в выделенном столбце, если оценка лучше общей, то, соответственно, улучшить. Добиться этого легче, если в качестве компенсирующего критерия рассматривать какой-либо показатель, выраженный в денежных единицах.

После этого вернуться к вычёркиванию столбцов по оставшимся критериям.