Свойства z-преобразования
Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них.
Линейность: Если S(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.
Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n).
Y(z) =
y(k)×zk =x(k-n)×zk =znx(k-n)×zk-n = zn
x(m)×zm = zn X(z).
Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель zn вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.
Для z-преобразования действительны все известные теоремы о спектрах. В частности, свертка двух сигналов отображается в z-области произведением их z-образов, и наоборот:
s(k) * h(k) Û S(z)H(z), s(k)·h(k) Û S(z) * H(z).
При z = exp(-jwDt) z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z) можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов kDt), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента w).
Рис. 8.7. Z-плоскость