Лекция №9

Тема: Интегрирование простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение.

К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов:

- вещественные постоянные

2. - вещественные постоянные,

3.

4.

Интегрирование 1^го типа:

Интегрирование 2^го типа:

Интегрирование 3^го типа:

проводится в два этапа:

1. В числителе выделяется дифференциал знаменателя:

2. Выделение полного квадрата в знаменателе второго интеграла.

Интегрирование 4^го типа:

1. Выделяем в числителе *** знаменателя:

Выделяем в знаменателе 2^го интеграла формулы квадрата:

Рекуррентная формула для вычисления J_m (вычисление происходит путем подстановки в известную форму)

Тема: Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:

с неопределенным коэф. A₁ …n

Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших дробей вида:

с неопределенным коэф.B₁ C₁…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

Тема Интегрирование некоторых иррациональных выражений

1) Неопределенный интеграл вида

Подынтегральная функция – рациональная функция двух переменных , где , – иррациональная функция одной переменной ,

Теорема. Неопределенный интеграл всегда может быть сведен к неопределенному интегралу от рациональной функции одной переменной .

Сделаем замену переменной: , то есть Отсюда находим: – рациональная функция переменной .

Найдем: .

Функция – рациональная функция переменной (предполагается, что ),

Таким образом,

.

Подынтегральная функция есть произведение двух рациональных функций одной переменной и является рациональной функцией .

Итак, .

2) Неопределенный интеграл вида

Подынтегральная функция – рациональная функция двух переменных , где , – иррациональная функция одной переменной .

Теорема. Неопределенный интеграл всегда может быть сведен к неопределенному интегралу от рациональной функции одной переменной .

Если трехчлен имеет действительные корни

то и

и интеграл сводится к случаю 1.

Поэтому будем считать, что не имеет действительных корней и . Тогда рационализация интеграла может быть достигнута с помощью подстановки Эйлера: (эту подстановку можно применять и в случае действительных корней при на интервале, где ). Отсюда , то есть – рациональная функция от . Но тогда – также рациональная функция от . Поэтому

Замечание. Если а ( ), то можно сделать замену

Пример. Вычислить

Бином не имеет действительных корней. Поэтому полагаем и

Отсюда

В силу этого