Двоичная система счисления

Большинство современных компьютеров работает в двоичной системе счисления (q=2). Согласно соотношению (2) для записи двоичного числа достаточно использовать только две цифры 0 и 1.

Правила перевода десятичного числа в двоичную систему счисления:

- целое число:

1) разделить исходное число на основание системы 2 . Остаток зафиксировать;

2) частное от деления принять за исходное число. Перейти к п.1.

Процесс перевода заканчивается, когда целая часть некоторого частного станет равной единице. Эта единица является старшим значащим разрядом искомого двоичного числа, т.е. запись целого двоичного числа осуществляется с конца.

Пример.

Перевести в двоичную систему десятичное число 37.

1. Делим 37 на 2:

37ë2

2 18

16

1

Остаток от деления фиксируем.

2. Частное от деления - 18 принимаем за исходное число и переходим к п.1.

18ë2 9ë2 4ë2 2ë2

18 9 8 4 4 2 2 1

0 1 0 0

Записываем частное от деления 1 в старший разряд, а затем последовательно остатки от деления справа налево.

Ответ: 37₁₀ = 100101₂

- дробное число:

1) умножить исходное число на основание системы 2;

2) выделить целую и дробную часть произведения. Целая часть является старшим после запятой разрядом искомой двоичной дроби. Дробная часть принимается за исходное число. Перейти к п.1.

Процесс перевода заканчивается в двух случаях:

1) дробная часть некоторого произведения равна 0;

2) достигнута заданная точность перевода (до определенного знака).

Пример. Перевести в двоичную систему десятичное число 0,25.

1. Умножаем исходное число 0,25 на основание системы 2:

_x 0,25

2

0,5

2. Целая часть=0, дробная часть=0,5 принимается за исходное число.

_x 0,5

2

Ответ: 0,25₁₀ = 0,01₂

Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления можно было бы воспользоваться ранее сформулированными правилами, заменяя везде основание q=2 на основание q=10. Однако в этом случае все арифметические операции деления и умножения пришлось бы выполнять в двоичной системе счисления. Собственно таким путем и осуществляется обратный перевод в машинах. Однако человеку для обратного перевода удобнее пользоваться соотношением (1), подставляя вместо коэффициентов их двоичные значения и выполняя действия, указанные в формуле, в десятичной системе счисления.

Пример. Перевести в десятичную систему двоичное число 1110011.

1*2⁶ + 1*2⁵ +1*2⁴ +0*2³ +0*2² + 1*2¹ +1*2⁰ = 64+32+16+2+1 = 115₁₀

Ответ: 1110011₂ = 115₁₀