Представления данных в ЭВМ. Системы счисления. Формы и форматы данных.

Системой счисления обычно называют способ наименования и записи чисел. Можно выделить два основных класса, на которые разделяются системы счисления - позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах количественное значение символа определяется только его изображением и не зависит от его места (позиции) в числе. Например, в римской системе счисления десятичное число 27 представляется XXVII = 10+10+5+1+1, другими словами количественное значение символа определяется либо суммой значений символов (как в числе 27), либо их разностью (как в числе 9 - IX). Значение числа зависит от места символа по отношению к другому символу, то есть значение символа не однозначно. В непозиционных системах счисления не представляются дробные и отрицательные числа.

Система счисления называется позиционной, если значение числа в ней определяется как цифрами, принятыми в системе, так и положением (позицией) этих цифр в числе. Закономерность построения позиционных чисел имеет простое математическое представление.

Введем следующие обозначения:

q - основание системы счисления. Основание системы это целое положительное число, большее 1 и равное максимальному количеству различных символов, употребляемых в данной системе счисления. В частности, для десятичной системы счисления q=10;

a_i - любая цифра из множества цифр, принятых в данной системе счисления (в случае десятичной системы a_i - любая цифра из множества 0, 1, 2,..., 9);

i - буквенный индекс, который обозначает номер позиции, занимаемой цифрой.

Позицию для целых чисел будем условно обозначать номерами 0,1,2,...,n, а позиции в правильных дробях - номерами со знаком минус -1,-2, ..., -m. Тогда любое число А в произвольной позиционной системе счисления с основанием q может быть записано следующим образом:

A = a_nqⁿ + a_n-1 q^n-1 + ... + a₁q¹ +a₀q⁰ +a_-1 g^-1 + ... + a_-m q^-m (1)

где a_i - удовлетворяет неравенству

0 ai q-1 (2)

и принимает в этом диапазоне только целые значения.

Величину ai будем называть весом i-го разряда. Тогда число A в десятичной системе счисления будет иметь вид :

A = a_n 10ⁿ + a_n-1 10^n-1 + ... + a₀ 10⁰ + a_-1 10^-1 + ...+ a_-m 10^-m

Для десятичной системы счисления понятие веса разряда соответствует общепринятым названиям позиций - единицы, десятки, сотни, десятые доли и т.д.

Пример.

Если дано число 345, то ясно, что в этом числе 5 единиц, 4 десятка и 3 сотни.

Формулу (1) будем называть общей формулой записи числа в позиционной системе счисления с произвольным целым основанием g.