Ряды Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора

Пусть функция имеет в точке и некоторой её окрестности производные ^[1] Тогда этой функции можно поставить в соответствие степенной ряд

Этот ряд называется рядом Тейлора, построенным по функции Возникают следующие естественные вопросы:

1) при каких условиях на функцию ряд сходится и какова область его сходимости?

2) при каких условиях на функцию ряд сходится именно к функции по которой он строится?

На первый вопрос можно ответить, применяя к признаки сходимости степенных рядов. Второй вопрос кажется странным (разве может он сходиться не к функции ?). Однако ничего странного в нем нет, так как существуют функции, ряды Тейлора которых сходятся к другим функциям. Рассмотрим, например, функцию

График этой функции указан ни рисунке. Эта функция не равна тождественно нулю в любой окрестности точки Однако её ряд Тейлора имеет вид Действительно,

.

Он, очевидно, сходится к функции в любой окрестности точки Следовательно, ряд Тейлора этой функции не сходится к ней. Посмотрим, какие следует наложить ограничения на функцию чтобы её ряд сходился именно к ней.

Запишем для неё формулу Тейлора :

где точка находится между и Из нее очевидным образом вытекает следующее утверждение.

Теорема 5(необходимое и достаточное условие разложимости функции в свой ряд Тейлора).Для того чтобы функция разлагалась в ряд ,сходящийся в окрестности именно к необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ее формулы Тейлора стремился к нулю, т.е.

Однако эта теорема носит теоретический характер. Прикладной характер имеет следующее утверждение.

Теорема 6(достаточные условия разложимости функции в свой ряд Тейлора).Пусть функция , т.е. является бесконечно дифференцируемой в окрестности точки Если все ее производные ограничены одной и той же константой в этой окрестности: , то ряд Тейлора этой функции сходится в указанной окрестности именно к (в этом случае говорят, что разложима в ряд Тейлора в окрестности ).

Доказательство этой важной теоремы мы проведем на следующей лекции, а так же дадим обоснование выписанных ниже формул Маклорена-Тейлора (заметим, что если в ряде центр раложения то его называют рядом Маклорена-Тейлора).

Таблица 1. Разложения основных элементарных функций в степенные ряды

[1] В этом случае говорят, что функция бесконечно дифференцируема в окрестности .