Степенные ряды. Теорема Абеля, радиус и интервал сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда

Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимости степенного ряда (с центром ), то легко найдем и область сходимости исходного ряда Поэтому впредь, если не оговорено противное, будем рассматривать степенные ряды вида .

Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится в точке то он сходится абсолютно и в интервале На любом отрезке указанный ряд сходится равномерно.

Доказательство. Поскольку ряд сходится, то его общий член поэтому последовательность ограничена, т.е. существует постоянная такая, что

Пусть теперь . Тогда будем иметь

Поскольку геометрическая прогрессия сходится ( ), то по первой теореме сравнения сходится и ряд Первая часть теоремы доказана.

Далее, пусть таков, что Тогда

Так как по доказанному ряд сходится и он мажорирует при (см. ) ряд , то по теореме Вейерштрасса последний ряд сходится равномерно при Теорема полностью доказана.

Из теоремы Абеля вытекает, что мы можем расширять интервал до тех пор пока не настанет момент, когда в точке ряд будет расходиться (или такой момент вообще не настанет, т.е. ). Тогда указанный интервал будет областью сходимости ряда Таким образом, любой степенной ряд имеет в качестве области сходимости не произвольное множество, а именно интервал. Дадим более точное определение интервала сходимости.

Определение 2. Число называется радиусом сходимости ряда , если внутри интервала этот ряд сходится абсолютно, а вне отрезка он расходится. При этом интервал называется интервалом сходимости ряда .

Заметим, что при указанный степенной ряд сходится только в точке а при он сходится при всех действительных Следующие примеры показывают, что эти случаи не исключаются: Примером ряда с ненулевым конечным радиусом сходимости может служить геометрическая прогрессия Заметим также, что на границе интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, ряд сходится условно в точке и расходится в точке

Из свойств равномерно сходящихся функциональных рядов (теоремы 1-3) легко выводятся следующие свойства степенных рядов.

Теорема 4.Пусть – радиус сходимости степенного ряда . Тогда имеют место следующие высказывания:

1. Сумма данного степенного ряда непрерывна в интервале сходимости;

2. Если – радиус сходимости степенного ряда , то ряд из производных будет иметь тот же радиус сходимости Отсюда вытекает, что степенной ряд можно дифференцировать сколько угодно раз (т.е. его сумма бесконечно дифференцируема в интервале сходимости), причем имеет место равенство

3. Степенной ряд можно интегрировать на любом отрезке лежащем внутри его интервала сходимости, т.е.

Доказательство, например, первого свойства будет таким. Пусть произвольная точка интервала сходимости . Окружим эту точку симметричным отрезком По теореме Абеля ряд сходится равномерно на отрезке , поэтому его сумма непрерывна на указанном отрезке, а значит, непрерывна, в частности, и в точке Свойство 1 доказано. Аналогично доказываются и остальные свойства нашей теоремы.

Теперь займемся вычислением радиуса сходимости степенного ряда по его коэффициентам.

Теорема 4. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:

а) существует (конечный или бесконечный) предел

б) существует (конечный или бесконечный) предел (при этом предполагается, существует номер такой, что ).

Тогда число радиус сходимости ряда .

Доказательствопроведем для случая а). Применим к модульному ряду признак Коши: По указанному признаку ряд сходится абсолютно, если число т.е. если Если же т.е. если то указанный ряд расходится. Следовательно, радиус сходимости ряда . Теорема доказана.

Замечание 1.Теорема 1-4 практически без изменения формулировок переносятся и на степенные ряды вида (с небольшой поправкой, что в этом случае областью сходимости является интервал ).

Пример 1.Найти область сходимости ряда (задача 10, Т.Р.,Кузнецов Л.А.)

Решение.Применим аналог а) теоремы Коши: радиус сходимости данного ряда. Значит, ряд сходится абсолютно в области

Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Имеем

расходится, т.к.

расходится, т.к.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является интервал .