Приклади оцінок.

Оцінки параметрів розподілу випадкових величин

Розподіли, пов’язані з нормальним

За допомогою нормального розподілу визначаються три розподіли, які часто використовуються при статистичній обробці даних. Це розподіли Пірсона ("хі-квадрат"), Стьюдента і Фишера.

1) Розподіл c²(хі-квадрат)

Якщо кожна з незалежних випадкових величин , , характеризується стандартним нормальним законом розподілу ймовірностей , то кажуть, що випадкова величина має розподіл із ступенями свободи із щільністю ймовірностей

де – гамма-функція Ейлера.

( , , , , і взагалі, , – може бути нецілим числом: )

Функція розподілу:

Розподіл використовують при оцінюванні дисперсії (за допомогою довірчого інтервалу), при перевірці гіпотез узгодження, однорідності, незалежності, передусім для якісних змінних, що набувають скінченне число значень, і в багатьох інших задачах статистичного аналізу даних.

2) Розподіл Стьюдента (-розподіл)

Якщо випадкова величина має стандартний розподіл , а випадкова величина – розподіл із ступенями вільності, то величина характеризується розподілом Стьюдента:

, .

Функція розподілу:

.

-розподіл, як і розподіл , має велике значення в математичній статистиці.

Нехай – спостережувана випадкова величина. Множина всіх можливих значень випадкової величини називаєтьсягенеральною сукупністю. Вибірковою сукупністю або простовибіркоюназивається множина випадковим чином відібраних з генеральної сукупності об’єктів. Об’ємом сукупності (генеральної або вибіркової) називається число об’єктів цієї сукупності.

Характеристики і параметри спостережуваної випадкової величини називають генеральними, а їх оцінки, отримані за вибіркою, – вибірковими (наприклад, генеральна дисперсія і вибіркова дисперсія). Звичайно вибіркову оцінку позначають тою ж самою буквою, що і оцінюваний параметр, але їз знаком "~"

Нехай випадкова величина має функцію розподілу, яка залежить від невідомих параметрів (параметрів розподілу, яких на практиці буває не більше чотирьох)

Необхідно за вибіркою об’єму оцінити невідомі параметри .

Означення. Оцінкою параметра розподілу називається функція від вибірки :

Інакше кажучи, оцінка параметра – це його наближене значення, отримане за вибіркою.

Вибіркове середнє .

Вибіркова дисперсія .

Властивості оцінок.

1. Оцінка параметра називається спроможною, якщо для будь-якого

,

тобто при збільшенні об’єму вибірки ( ) вона прямує до істинного значення параметра .

2. Оцінка параметра називається незміщеною(незміщена означає не зсунута відносно математичного сподівання), якщо

Незміщеність оцінки означає, що користуючись величиною замість , ми не будемо робити систематичної помилки у бік завищення або заниження.

3. Оцінка параметра називається ефективною, якщо вона незміщена і у порівнянні з іншими оцінками має мінімальну дисперсію

Вибіркова дисперсія є спроможною і зміщеною оцінкою генеральної дисперсії . За незміщену оцінку генеральної дисперсії беруть так звану виправлену дисперсію