Біноміальний розподіл ймовірностей
Тема: Біноміальний, рівномірний і нормальний розподіл ймовірностей
Лекція № 10
План лекції:
1. Біноміальний розподіл ймовірностей.
2. Рівномірний розподіл ймовірностей.
3. Нормальний розподіл ймовірностей.
4. Нормальне наближення.
5. Розподіли, пов’язані з нормальним.
6. Оцінки параметрів розподілу випадкових величин.
7. Оцінки параметрів біноміального розподілу.
8. Оцінки параметрів нормального розподілу.
Припустимо, що проводиться серія незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з однією і тією ж, але невідомою нам ймовірністю . Причому ймовірність появи події в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань. Такі випробування називаються незалежними відносно події . Нехай проведено незалежних випробувань. Випадкова величина – число появ події (появу події називають «успіхом») в цій серії випробувань. Можливими значеннями цієї випадкової величини є цілі числа від 0 до . Ймовірності цих можливих значень визначаються за формулою Бернуллі. Закон розподілу такої випадкової величини називається біноміальним.
Означення. Дискретна випадкова величина називається розподіленою за біноміальним законом, якщо її можливими значеннями є числа успіхів в схемі Бернуллі при випробуваннях, а ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі
,
( , ).
Закон розподілу:
... | ... | ||||||
... | ... |
Звернемо увагу на те, що сума ймовірностей – це точно біном Ньютона
.
Цей факт і вплинув на назву випадкової величини, яка розглядається. Позначається біноміальний розподіл так: , де і – параметри біноміального розподілу.
Функція розподілу:
Числові характеристики:
, , , .
Найімовірніше значення випадкової величини , розподіленої за біноміальним законом задовольняє нерівність:
.
Приклад. На заліку студент отримав 4 задачі. Ймовірність правильно розв’язати кожну задачу . Випадкова величина – число правильно розв’язаних задач.
а) Знайти закон розподілу випадкової величини ;
б) побудувати функцію розподілу випадкової величини та її графік.
в) Знайти , , .
Розв’язання. а) Можливі значення випадкової величини : 0,1,2,3,4. Оскільки можливими значеннями випадкової величини є числа успіхів в схемі Бернуллі при 4 випробуваннях, то їх ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі:
, , .
;
;
;
;
.
Закон розподілу запишемо у вигляді таблиці:
0,0016 | 0,0256 | 0,1536 | 0,4096 | 0,4096 |
Перевірка умови нормування:
0,0016+0,0256+0,1536+0,4096+0,4096=1.
Отже, випадкова величина має біноміальний розподіл .
б) Функція розподілу випадкової величини за означенням:
Компактно можна записати в такій формі:
Графік функції зображено на малюнку:
к |
0,5 |
0,1 |
в) Знайдемо , , .
;
;
.