Біноміальний розподіл ймовірностей

Тема: Біноміальний, рівномірний і нормальний розподіл ймовірностей

Лекція № 10

 

План лекції:

1. Біноміальний розподіл ймовірностей.

2. Рівномірний розподіл ймовірностей.

3. Нормальний розподіл ймовірностей.

4. Нормальне наближення.

5. Розподіли, пов’язані з нормальним.

6. Оцінки параметрів розподілу випадкових величин.

7. Оцінки параметрів біноміального розподілу.

8. Оцінки параметрів нормального розподілу.

 

Припустимо, що проводиться серія незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з однією і тією ж, але невідомою нам ймовірністю . Причому ймовірність появи події в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань. Такі випробування називаються незалежними відносно події . Нехай проведено незалежних випробувань. Випадкова величина – число появ події (появу події називають «успіхом») в цій серії випробувань. Можливими значеннями цієї випадкової величини є цілі числа від 0 до . Ймовірності цих можливих значень визначаються за формулою Бернуллі. Закон розподілу такої випадкової величини називається біноміальним.

Означення. Дискретна випадкова величина називається розподіленою за біноміальним законом, якщо її можливими значеннями є числа успіхів в схемі Бернуллі при випробуваннях, а ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі

,

( , ).

Закон розподілу:

  ...   ...    
      ...   ...    

Звернемо увагу на те, що сума ймовірностей – це точно біном Ньютона

.

Цей факт і вплинув на назву випадкової величини, яка розглядається. Позначається біноміальний розподіл так: , де і – параметри біноміального розподілу.

Функція розподілу:

Числові характеристики:

, , , .

Найімовірніше значення випадкової величини , розподіленої за біноміальним законом задовольняє нерівність:

.

Приклад. На заліку студент отримав 4 задачі. Ймовірність правильно розв’язати кожну задачу . Випадкова величина – число правильно розв’язаних задач.

а) Знайти закон розподілу випадкової величини ;

б) побудувати функцію розподілу випадкової величини та її графік.

в) Знайти , , .

Розв’язання. а) Можливі значення випадкової величини : 0,1,2,3,4. Оскільки можливими значеннями випадкової величини є числа успіхів в схемі Бернуллі при 4 випробуваннях, то їх ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі:

, , .

;

;

;

;

.

Закон розподілу запишемо у вигляді таблиці:

   
  0,0016 0,0256 0,1536 0,4096 0,4096

 

Перевірка умови нормування:

0,0016+0,0256+0,1536+0,4096+0,4096=1.

Отже, випадкова величина має біноміальний розподіл .

 

б) Функція розподілу випадкової величини за означенням:

Компактно можна записати в такій формі:

 

Графік функції зображено на малюнку:

к
0,5
0,1

в) Знайдемо , , .

;

;

.