Вариационный ряд можно изобразить графически

· Графическое изображение дискретного вариационного ряда. На оси абсцисс наносятся варианты, на оси ординат – соответствующие им частоты. Точки соединяют отрезками прямых. Такое изображение дискретного вариационного ряда называется полигоном. На рис.1 представлен полигон вариационного ряда Таблицы 3.

Рис. 1.

· Графическое изображение интервального вариационного ряда.

На оси абсцисс откладываются отрезки, изображающие интервалы, на этих отрезках, как на основании, строятся прямоугольники с высотами, равными частотам соответствующего интервала. В результате получается ступенчатая фигура из прямоугольников, которая называется гистограмма. На рис. 2 изображена гистограмма вариационного ряда таблицы 4.

Рис. 2.

2.8. Оценки параметров генеральной совокупности

Пусть Х – изучаемый количественный признак генеральной совокупности. Как известно, исчерпывающую информацию о генеральной совокупности дает распределение вероятностей. Естественно, возникает задача оценки (приближенного значения) параметров, которыми определяется это распределение. Например, для нормального распределения таких параметров два – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Как правило, известны лишь выборочные данные из генеральной совокупности, например, значения изучаемого признака х₁, х₂, …, х_n, полученные в результате n наблюдений. На их основании и делается вывод относительно всей генеральной совокупности.

Точечные оценки

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Пусть Θ^*- статистическая оценка неизвестного параметра Θ теоретического распределения. Для того, чтобы оценка была в определенном смысле наилучшей, к ней предъявляется ряд требований:

· Состоятельность. Точечная оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки (n®¥) она стремится к истинному значению параметра Θ.

· Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если она не содержит систематической ошибки, т.е. среднее значение оценки, определенное по многократно повторенной выборке объема n из одной и той же генеральной совокупности, стремится к истинному значению соответствующего генерального параметра. Другими словами, математическое ожидание М(Θ^*)=Θ.

· Эффективность. Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию D(Θ^*)=D_min.

Доказано, что наилучшей в указанном смысле оценкой математического ожидания М(Х) является , т.е.

В качестве оценки дисперсии признака Х в генеральной совокупности D(X) берется исправленная выборочная дисперсия D_B^*

Интервальные оценки

При выборке малого объема точечная оценка неизвестного параметра может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом числе наблюдений следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, определяемую двумя числами – концами интервала, которые находят по известной величине выборочной характеристики. Интервальные характеристики позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть Θ^* оценка Θ неизвестного параметра генеральной совокупности. Вероятности, признанные достаточными для того, чтобы уверенно судить о параметрах генеральной совокупности на основании выборочных характеристик называются доверительными.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ по Θ^* называется вероятность g, с которой осуществляется неравенство: |Θ-Θ^*|< d или Θ^*- d < Θ < Θ^*+ d, т.е.
Р(|Θ-Θ^*|< d = g.

Интервал (Θ^*-d;Θ^*+ d), в котором с заданной доверительной вероятностью находится оцениваемый параметр генеральной совокупности называется доверительным интервалом. d - точность оценки.

Обычно в качестве доверительных вероятностей выбирают значения 0.95, 0.99, 0.999.

Интервал является доверительным интервалом, в котором с вероятностью g находится математическое ожидание нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если среднее квадратическое отклонение признака Х неизвестно.

Интервал (s_В^*(1-q); s_B^*(1+q)) является доверительным интервалом для среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

Коэффициенты t_g, q находятся по таблицам.