Метод Зейделя

Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод Зейделя.

В методе Якоби на (k+1)-ой итерации значения x, i = 1, 2, …, n. вычисляются подстановкой в правую часть (3.27) вычисленных на предыдущей итерации значений x. В методе Зейделя при вычислении xиспользуются значения x, x, x, уже найденные на (k+1)-ой итерации, а не x, x, …, x, как в методе Якоби, т.е. (k + 1)-е приближение строится следующим образом:

x = b₁₂x + b₁₃ x + … + b_1,n-1 x + b_1n x + c₁

x= b₂₁x + b₂₃ x + … + b_2,n-1 x + b_2n x + c₂

x= b₃₁x+ b₃₂ x + … + b_3,n-1 x+ b_3n x+ c₃ (3.36)

x= b_n₁ x+ b_n₂x x + b_n₃ x x+ … + b_n_,_n_-₁ x + c._n

Формулы (3.36) являются расчетными формулами метода Зейделя.

Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:

0 0 0 … 0 0 b₁₂b₁₃ … b_1n

b₂₁ 0 0 … 0 0 0 b₂₃ … b_2n

B₁ = b₃₁ b₃₂0 … 0 и B₂= 0 0 0 … b_{3n .}

b_n₁ b_n₂ b_n₃ …0 0 0 0 … 0

Матричная запись расчетных формул (3.36) имеет вид:

x^k+¹= B₁x^k+¹+ B₂x^k+ c. (3.37)

Так как B = B₁+ B₂, точное решение x^* исходной системы удовлетворяет равенству:

x^*= B₁x^*+ B₂x^*+ c. (3.38)

Сходимость метода Зейделя.Достаточным условием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:

b = max |b_ij|,< 1, i, j = 1, 2, …, n. (3.39)

Неравенство (3.39) означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный по модулю элемент матрицы B был меньше единицы.

Если выполнено условие (3.39), то справедлива следующая апостериорная оценка погрешности:

max|x- x| £ max|x– x| i = 1, 2, …, n, (3.40)

где b – максимальный элемент матрицы B, b₂– максимальный элемент матрицы B₂.

Правую часть оценки (3.40) легко вычислить после нахождения очередного приближения.

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью e, то в силу (3.37) итерационный процесс следует закончить как только на (k+1)-ом шаге выполнится неравенство:

max|x– x| < e, i = 1, 2, …, n. (3.41)

Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство

max|x– x| < e₁, i = 1, 2, …, n. (3.42)

где e_{1 =}e_.

Если выполняется условие b £ , то можно пользоваться более простым критерием окончания:

max|x– x| < e, i = 1, 2, …, n. (3.43)

Метод Зейделя как правило сходится быстрее, чем метод Якоби. Однако возможны ситуации, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.

Пример 3.6.

Применим метод Зейделя для решения системы уравнений (3.33) из примера 3.5. Первые шаги полностью совпадают с процедурой решения по методу Якоби, а именно: система приводится к виду (3.34), затем в качестве начального приближения выбираются элементы столбца свободных членов (3.35). Проведем теперь итерации методом Зейделя.

При k = 1

x= – 0.0574x– 0.1005x – 0.0431x+ 1.0383 = 0.7512