Модели дискретных процессов

Разностные уравнения, описывающие динамику систем дискретного времени получаются в результате анализа реальных процессов в различные моменты дискретного времени k.

Пример 5.1. Рассмотрим цифровой накопитель (счетчик), содержимое которого в дискретные моменты времени k описывается функцией

с начальным значением . В момент k на вход счетчика поступает сигнал , в результате чего в последующий момент дискретного времени k + 1 происходит увеличение содержимого счетчика на величину этого сигнала:

(5.1)

Последнее выражение и является моделью счетчика, представленной в форме разностного уравнения первого порядка. Уравнение (5.1) можно записать в операторной форме. Введем в рассмотрение оператор сдвига (упреждения) z, действующий по схеме

и после элементарных преобразований получим

(5.2)

Оператор 1/(z - 1) является передаточной функцией дискретной системы (5.1).

Пример 5.2. Проанализируем прохождение однородных предметов (товаров) в торговой системе склад – магазин, функциональная схема которой представлена на рисунке

Рис. 5.1. Система склад – магазин

Здесь - число товаров в магазине, - товары, поступающие со склада, - заказанное количество товаров (заказ), - число реализованных (проданых) товаров, k – дискретное время в днях. Начальное состояние системы (в момент k =0) характеризуется значениями и .

Динамика товаров в магазине описывается разностным уравнением

(5.3)

в котором число проданных единиц товара f(t) выступает в роли возмущающего воздействия. Полагая, что заявка выполняется складом с задержкой в один день, запишем модель склада в виде

(5.4)

где заявка u(k) на требуемое количество товара играет роль управляющего воздействия. Если задача управления ставится как задача регулирования объема товаров в магазине, то переменная считается выходом системы:

. (5.5)

Таким образом, рассматриваемая система описывается уравнениями состояния (5.3) – (5.4) и уравнением выхода (5.5). Разностные уравнения состояния связывают значения переменных состояния и в последующий момент дискретного времени k + 1 (следующий день) с переменными системы в текущий момент времени k. С использованием оператора сдвига z полученые разностные уравнения (5.3) – (5.4) можно привести к операторной форме:

удобной для построения структурной схемы

Рис. 5.2. Структурная схема склад – магазин

Модель дискретной системы может быть также представлена в форме вход – выход. Для этого уравнение (5.3) переписывается для времени k + 2:

После подстановки выражений (5.4) и (5.5), находим

Полученное разностное уравнение второго порядка связывает объемы товаров в моменты дискретного времени k+2 и k+1 с соответствующими значениями заказа u(k) и продаж f(k+1).

Для решения задачи стабилизации количества товаров в магазине y на заданном уровне может быть использована простейшая стратегия управления заказами – пропорциональный алгоритм управления

где - отклонение, К – постоянный коэффициент. Графики процессов в такой системе при постоянном спросе f(k) = const приведены на рисунках и представлены решетчатыми функциями:

Рис. 5. 3. Процессы системы склад – магазин