Корневые показатели качества

Отметим, что основными показателями качества системы управления являются устойчивость, быстродействие и точность. Динамическое поведение САУ характеризуется устойчивостью и быстродействием. Статическое поведение САУ есть установившееся движение. Оно характеризуется точностью САУ, т.е. отклонением управляемой переменой от командного сигнала (статической ошибкой ).

Рассмотрим описание динамики САУ в комплексной области. Основными характеристиками здесь являются: степень устойчивости, демпфирование, колебательность, которые определяются по расположению корней характеристического уравнения замкнутой САУ (полюсам). Если требования на качество известны, то по ним легко определить область расположения полюсов эталонной САУ, а именно:

(1.32)

Здесь приняты следующие обозначения: h - степень устойчивости; m - показатель колебательности. Область W ограничена линией равной степени устойчивости и линиями постоянного демпфирования . Область выглядит следующим образом:

где .

Необходимым и достаточным условием устойчивости системы управления согласно первой теореме Ляпунова считается выполнение условия:

s_i < 0; (s_i = s_i + iw_i , i=)

где s_i - корни характеристического уравнения замкнутой системы. Рассмотрим влияние вида корней характеристического уравнения на поведение системы управления во времени в переходном и установившемся режимах.

1. Пусть все корни САУ действительные: s_i = s _i < 0 , ( i = 1,…, n). Тогда переходная функция будет иметь следующий вид:

Рис. 1.21. Переходная функция САУ при s_i = s _i < 0

2. Пусть среди корней характеристического уравнения есть комплексно – сопряженные корни вида: s_k = s _k iw, s _k < 0, тогда переходная функция будетиметь вид:

Рис. 1.22. Переходная функция САУ при s_k = s _k iw, s _k < 0

3. Пусть САУ имеет только действительные корни характеристического уравнения и среди них есть по меньшей мере один, имеющий вид: s _k = s _k > 0, тода переходная функция САУ будет иметь вид:

Рис. 1.23. Переходная функция САУ при s _k = s _k > 0

4. Пусть среди корней характеристического уравнения есть комплексно – сопряженные корни вида: s_k = s _k iw, s _k > 0, тогда переходная функция будет иметь вид:

h(t)

t

Рис. 1.24. Переходная функция САУ при s_k = s _k iw, s _k > 0

5. Пусть все корни характеристического уравнения есть комплексно – сопряженные корни вида: s_k = iw, тогда переходная функция будет иметь вид автоколебаний (теория автоколебаний в курсе не рассматривается):

h(t)

t

Рис. 1.25. Переходная функция САУ при s_k = iw

Для оценки качества САУ в комплексной плоскости понадобятся знания следующих характеристик:

- степени устойчивости

h = | max Re(s_i)|, Re(s_i) < 0, ( i = 1,…, n),

запасом устойчивости по амплитуде называется относительное

увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором

устойчивая система доходит до границы области устойчивости;

- колебательности

m = |Im (s_дом) / Re (s_дом)|; Y = arctg m,

колебательность обычно имеет значение 1 - 2, но в отдельных случаях

допускается до 3;

- времени регулирования

T_рег = (1/h) ln (1/);

- демпфирования (затухания)

= 1 - exp (-2p / m),

демпфирование допускается в пределах 90-98%;

- переходной функции

- функции веса

В введенных формулах приняты следующие обозначения: s_i - корень характеристического уравнения замкнутой САУ; s_дом - доминантный полюс, т. е. полюс минимального модуля; А(s) и В(s) – соответственно полиномы числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой САУ; n - порядок полинома В(s); - малое действительное положительное число, характеризующее максимально допустимое отклонение управляемого параметра от заданного командного сигнала после окончания действия переходного процесса.

Следует подчеркнуть, что корни полинома с действительными коэффициентами всегда являются либо действительными числами, либо попарно - сопряженными комплексными величинами.