Понятие функции, аналитической в области.
Производная функций комплексного переменного.
Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:
Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области.
Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной.
Аналогично определяются производные основных функций, таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д.
Производные гиперболических функций определяются по формулам:
Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.
Таким образом, функция может быть аналитической только в некоторой области; однако и о каждой отдельной точке такой области говорят, что в ней наша функция аналитическая. При этом важно заметить, что функция, аналитическая в точке, по определению должна быть аналитической в некоторой окрестности этой точки.
Пример 43.1.
Функция , непрерывная во всей плоскости, имеет в точке
производную, равную нулю, потому что отношение
стремится к нулю вместе с
. Эта функция, моногенная в нулевой точке, не будет аналитической в этой точке, так как в любой другой точке плоскости эта функция не будет дифференцируемой.
В самом деле, отношение
при не стремится к определённому пределу, когда
стремится к нулю. Это будет очевидным, если положим
и заметим,
что отношение
имеет предел, равный единице при стремящемся к нулю, и это же отношение стремится к нулю при
стремящемся к нулю.
Приведённый пример даёт функцию, непрерывную во всей плоскости и нигде не дифференцируемую, кроме . Взяв
аналогично предыдущему, мы показали бы, что эта функция, непрерывная во всей плоскости, нигде не дифференцируема.
Другим примером непрерывной и нигде не дифференцируемой функции может служить: . Таким образом, мы видим, что весьма легко образовать примеры непрерывных функций комплексного переменного, лишённых производных в каждой точке плоскости. Простота образования таких функций объясняется тем, что требование дифференцируемости функции в точке по комплексному переменному гораздо более сильное, нежели по действительному переменному. Действительно, предполагая дифференцируемость функции
в точке
, мы считаем, что предел отношения
будет одним и тем же числом независимо от направления, по которому переменная точка
приближается к постоянной точке
.
Ещё более сильным будет требование дифференцируемости функции в каждой точке области; отсюда становится понятным, что функции, аналитические в области, должны обладать рядом специфических свойств, присущих только им одним среди множества всех функций комплексного переменного. Основная задача настоящего руководства и состоит в том, чтобы выявить основные замечательные свойства таких функций. Так как определение производной функции комплексного переменного совершенно аналогично с формальной стороны соответствующему определению для функции действительного переменного, то все известные из дифференциального исчисления правила дифференцирования легко могут быть перенесены в комплексную область. Отсюда, в частности, следует, что целая рациональная функция есть аналитическая во всей плоскости; функция рациональная есть аналитическая во всей плоскости комплексного переменного, кроме точек, в которых её знаменатель обращается в нуль.