Равномерная сходимость функционального ряда

Определим вначале понятие равномерной сходимости числовой последовательности.

Определение 40.4. Функциональная последовательность f_n(x) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве Х, если и

.

Замечание 1. Будем обозначать обычную сходимость функциональной последователь-ности а равномерную сходимость - .

Замечание 2. Отметим еще раз принципиальное отличие равномерной сходимости от обычной: в случае обычной сходимости при выбранном значении ε для каждого существует свойномер N, для которого при n > N выполняется неравенство:

. При этом может оказаться, что подобрать для данного ε общий номер N, обеспечивающий выполнение этого неравенства для любого х, невозможно. В случае же равномерной сходимости такой номер N, общий для всех х, существует.

Определим теперь понятие равномерной сходимости функционального ряда. Поскольку каждому ряду соответствует последовательность его частичных сумм, равномерная сходимость ряда определяется через равномерную сходимость этой последовательности:

Определение 40.5. Функциональный ряд называется равномерно сходящимсяна множестве Х, если на Х равномерно сходится последовательность его частичных сумм.