Понятие функции комплексного переменного

Свойства функций комплексного переменного.

Для функций комплексного переменного f(z) и g(z) справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)

Определение. Функция называется непрерывной в точке z₀, если выполняется равенство

Рассмотрим множество E комплексных чисел и условимся, что комплексное число может быть отождествлено с каждым числом этого мно­жества E; в таком случае мы назовём комплексным переменным, а E – его областью изменения.

Геометрически область E изменения комплексного переменного изобразится посредством множества точек в комплексной числовой плоскости или на числовой сфере. По-прежнему мы будем обозначать это множество точек через E и будем его называть областью изменения комплексного переменного . Если мы воспользуемся для изображения чисел множества Е числовой сферой, то нет необходимости исключать случай, когда бесконечно удалённая точка принадлежит к Е, т.е. когда среди чисел множества Е имеется бесконечность. Мы назовём функцией независимого ком­плексного переменного , если каждому значению, которое может принимать , т.е. каждому числу множества Е, соответствует определённое комплексное числовое значение.

Символи­чески это обозначается так:. Если, то и суть действительные функции двух действительных переменных ,. Таким образом, задание как функции комплексного переменного сводится к заданию двух функций и переменных и . Может случиться, что каждому значению комплексного переменного соответствует несколько различных значений переменного . В этом случае называется многозначной функцией комплексного переменного , тогда как в первом случае она называется однозначной функцией. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем иметь дело лишь с однозначными функциями.

Каждой точке множества Е, которое служит областью изменения переменного , соответствует определённое комплексное число . Изображая последнее как точку в числовой плоскости или на число­вой сфере, мы получаем множество точек Е'. Итак, задание w как функции комплексного переменного геометрически сводится к установлению соответствия между множествами точек Е и Е', в силу которого каждой точке множества Е отвечает определённая точка множества Е'. В этом случае говорят, что множество точек Е отобра­жается на множество точек Е'. При этом некоторые точки множества Е' могут оказаться кратными, что будет тогда, когда различным зна­чениям соответствует одно и то же значение .

Рассматривая соответствие между точками множеств Е и Е' как отображение мно­жества Е' на множество Е, мы получаем для каждого значения ком­плексного переменного , изменяющегося на множестве точек Е' одно или несколько (конечное или бесконечное множество) значений . Следовательно, обратно, можно рассматривать как функцию ком­плексного переменного . Такая функция носит название обратной функции, по отношению к функции . Если различным значе­ниям комплексного переменного соответствуют различные значения функции , то отображение множеств Е и Е' будет взаимно одно­значным, т. е. таким, что каждой точке множества Е отвечает един­ственная точка множества Е' и, обратно, каждой точке множеств Е' – одна точка множества Е. В этом случае , рассматриваемое как обратная функция , будет также однозначной функцией. В общем же случае функция, обратная однозначной функции, может быть многозначной и даже бесконечнозначной. Более того, функция, обратная однозначной, может иметь при каждом значении независимого пере­менного бесконечное множество значений, образующих непрерывную линию.

Например, есть однозначная функция комплексного переменного . Рассматривая же как функцию , мы видим, что данному значению отвечает бесконечное множество значений для которых , т.е. целая окружность. Впрочем, явления такого рода не могут иметь места для класса дифференцируемых функций, изложение теории которых представляет главную задачу настоящего руководства.