Признак сравнения

Лекция 30. Признаки сходимости рядов

♦ Лемма 30.1. Если в ряде

(30.1)

отбросить конечное число первых членов, например p членов, то получим ряд

, (30.2)

который сходится (или расходится) одновременно с рядом (30.1).

Доказательство. Обозначим и пусть – сумма первых n членов ряда (30.1), – сумма первых n членов ряда (30.2). Тогда , .

Предположим, что ряд (30.1) сходится. Пусть , тогда и , , то есть ряд (30.2) сходится.

Теперь пусть ряд (30.2) сходится, , тогда , то есть ряд (30.1) тоже сходится. ■

Следствие 1. При исследовании ряда на сходимость можно игнорировать конечное число его членов.

Следствие 2. Если ряд (30.1) сходится и S – его сумма, то n-й остаток этого ряда представляет собой сумму ряда , то есть .

♦ Теорема 30.1 (признак сравнения рядов).Если члены ряда

(30.3)

неотрицательны и не превышают соответствующих членов сходящегося ряда

, (30.4)

то данный ряд (30.3) тоже сходится.

Доказательство. Частичные суммы рядов , . Так как ряд (30.4) сходится, то . Так как , то . Всякая монотонно возрастающая ограниченная последовательность стремится к определённому пределу и, следовательно, ряд (30.3) сходится. ■

Следствие 3. Если члены некоторого ряда не меньше соответствующих членов знакоположительного ряда и второй ряд расходится, то расходится и первый ряд.

В самом деле, если бы первый ряд сходился, то в силу теоремы 30.1 сходился бы и второй ряд, что противоречит нашему условию.

J Пример 30.1. Сравним ряд

, (30.5)

со сходящимся рядом :

, , …, .

По признаку сравнения ряд (30.5) сходится.

В свою очередь, из сравнения с рядом (30.5) следует, что ряд сходится, если . Это ряд сходится при и расходится при .

Рассмотрим ряд

. (30.6)

Так как , то из сравнения с гармоническим рядом следует, что (30.6) расходится.

J