Интеграл как функция верхнего предела
Заметим, что , то есть не имеет значения, по какой переменной – x или u – интегрировать на отрезке . Ведь в обоих случаях любая интегральная сумма имеет вид . Пусть задана интегрируемая на функция . Тогда, каково бы ни было x, удовлетворяющее неравенствам , функция интегрируема также и на . Нас интересует . (25.8) | |
Рис. 25.2. |
♦ Теорема 25.6. Если функция интегрируема на отрезке , то функция , определённая по формуле (25.8), непрерывна в любой точке .
Доказательство. Зададим произвольную точку x и придадим ей приращение h.
для , . Таким образом
, ,
то есть функция непрерывна в точке x. ■
♦ Теорема 25.7. Если интегрируемая на отрезке , функция непрерывна в точке , то в этой точке существует производная от функции : .
Доказательство. Зададим произвольную точку x и придадим ей приращение h.
.
Так как функция непрерывна в точке x, то для такое, что для следует . Поэтому для
,
,
то есть существует производная
. ■
Таким образом, если функция непрерывна на отрезке , то для неё существует первообразная на этом отрезке. При этом в качестве одной из первообразных можно взять интеграл (25.8). Неопределенный интеграл от функции , непрерывной на отрезке , равен , .
Приведём ещё одно доказательство формулы Ньютона-Лейбница.
, , .
Если – какая-либо первообразная, то .
– это формула Ньютона-Лейбница. ■
J Пример 25.1. , то есть площадь заштрихованной фигуры (рис. 25.3) равна . J
J Пример 25.2. , то есть площадь заштрихованной фигуры (рис. 25.4) равна 2.J
Рис. 25.3. | Рис. 25.4. |
25.5. Замена переменной в определённом интеграле
♦ Теорема 25.8 (о замене переменной).
. (25.9)
Здесь функция непрерывно дифференцируема на отрезке , , и функция непрерывна на отрезке .
Доказательство. Пусть и – первообразные функций и , , .
. (25.10)
По формуле Ньютона-Лейбница левая часть (25.10) равна правой части (25.9), а правая часть (25.10) – левой части (25.9). Таким образом, формула (25.9) доказана. ■
J Пример 25.3. 1) .
2) . J
J Пример 25.4. Если – чётная функция , то .
Доказательство. ,
. ■ J
J Пример 25.5. Если – нечётная функция , то .
Доказательство аналогично доказательству примера 25.4. ■ J
J Пример 25.6. Если – периодическая функция с периодом , то .
Доказательство. ,
. ■ J