Функции многих переменных.

Функцию многих переменных можно выразить через элементарные функции. Система элементарных функций называется полной, если через неё можно выразить функцию любого числа переменных. Функционально полная система функций образует логический базис.

Примеры (2.2.) базисов:

1) ¬, Ú -дизъюнктивный базис;

2) ¬, Ù -конъюнктивный;

3) ¬, Ú, Ù -Булевский базис (смешанный);

4) / -штрих Шеффера;

5) ↓ -стрелка Пирса;

6) /, «1»;

7) ↓, «0»;

8) →, «0»;

9) →, «1»;

10) →, mod2;

11) &, mod2 –базис Жегалкина.

Система функций, образующая булевский базис, наиболее изучена и используется для построения устройств в любых других базисах. Поэтому его роль при построении комбинационных схем велика.

Основные законы Булевского базиса:

1) закон идемпотентности

аÚа=а; аÙа=а;

2) коммутативный (переместительный) закон

аÚв=вÚа; аÙв= вÙа;

3) ассоциативный (сочетательный) закон

аÚ(вÚс)=(аÚв)Úс; аÙ(вÙс)=(аÙв) Ùс;

4) дистрибутивный (распределительный) закон

аÙ(вÚс)= (аÙв) Ú(аÙс); аÚ (вÙс)= (аÚв) Ù (аÚс);

5) закон двойного отрицания

_

ā =а;

6) законы двойственности (правила де Моргана)

_ _ __ _ _ ____

а + в= ав; а в = а + в;

Его можно распространить на любое число переменных n:

7) закон склеивания

_

а в + а в =а; (склейка по в)

_

(a + в) (a + в) =а;

8) закон поглощения

а + а в= а; а(а + в)=а.

Действия с константами «0» и «1»:

_

а + 0=а; а + 1=1; а + а =1;

_

а 0 =0; а 1=а; а а =0.

Правило введения и исключения лишних связок:

_ _

F₁X+ F₂X= F₁X+ F₂X+ F₁ F₂;

_ _

(F₁+X) (F₂+X)= (F₁+X) (F₂+X) (F₁+ F₂).