Формулы и ряды Тейлора элементарных функций.

1). Эта функция бесконечно дифференцируема на :

, , , .

Формула Тейлора с и остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

, , .

На отрезке

,

где при . То есть на функцияразлагается в ряд Маклорена по степеням x:

.

J Пример 19.2. Вычислим e с точностью до 0,001:

, где , .

Надо подобрать n настолько большим, чтобы . Так как , решим неравенство . Оно начинает выполняться при . Следовательно,

. J

2). Данная функция имеет производную любого порядка и

.

Надо учесть, что

Функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням x:

.

Формула Тейлора функции по степеням x имеет вид:

,

где

, .

Отсюда следует, что и

.

J Пример 19.3. Вычислим .

Ряд Тейлора для синуса . Поэтому

,

то есть .

На самом деле остаток имеет вид , но для наших целей достаточно . Надо иметь в виду, что если некоторая функция от x есть , то она есть также (но вообще не наоборот). J

3). Аналогично можно получить, что

.

J Пример 19.4. (с точностью до ). J

J Пример 19.5. Вычислим .

По аналогии с примером 19.3 получим

,

то есть . J

4) Функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Для при запишем формулу Тейлора. Так как , , то формула Тейлора имеет вид:

.

При , поэтому

.

Например, .

5) Функция . Производные , . Формула Тейлора по степеням x имеет вид:

.

Для при , поэтому

.

Если , то функция есть многочлен. В этом случае для и ряд представляет собой конечную сумму – многочлен Тейлора.

[1] Тейлор Брук (1685-1731) – английский математик.

[2] Маклорен Колин (1698-1746) – шотландский математик.

[3] Пеано Джузеппе (1858-1932) – итальянский математик.