Ряд Тейлора.

 

Определение 19.1. Выражение вида

, (19.7)

или

, (19.7*)

где – числа, зависящие от индекса k, называется рядом (числовым рядом).

Определение 19.2. Конечные суммы называются частичными суммами ряда (19.7).

Определение 19.3. Если существует конечный предел

, (19.8)

то говорят, что ряд (19.7) сходится к числу S и называют S суммой ряда:

.

Определение 19.4. Если предел частичных сумм Sn ряда (19.7) не существует или равен , то ряд (19.7) называется расходящимся рядом.

 

Если функция имеет производные любого порядка в окрестности точки , то можно функцию представить в виде суммы

.

Такое разложение называется рядом Тейлора функции по степеням . Если , то это будет ряд Маклорена.

Особый интерес представляет тот случай, когда ряд Тейлора функции по степеням сходится в некоторой окрестности точки и при том к самой функции . Если это имеет место, то

, , (19.9)

то есть функция есть сумма её ряда Тейлора в некоторой окрестности точки . В этом случае говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора по степеням , сходящийся к ней.

 

♦ Теорема 19.1. Пусть функция на отрезке имеет производные любого порядка и остаток её формулы Тейлора стремится к нулю при на этом отрезке:

. (19.10)

Тогда функция разлагается в ряд Тейлора на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция имеет на отрезке производные любого порядка. Тогда эти производные непрерывны на , потому что если имеет производную на , то производная непрерывна на .

Поэтому для нашей функции имеет смысл формула Тейлора:

, .

В силу (19.10)

.

То есть в этом случае многочлен Тейлора функции по степеням стремится при к самой функции:

, . (19.11)

А это означает, что ряд Тейлора функции сходится на и имеет своей суммой :

, . ■

 

♦ Теорема 19.2 (достаточный критерий сходимости остатка формулы Тейлора к нулю). Если функция имеет на отрезке производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом , , то остаток её формулы Тейлора на этом отрезке стремится при к нулю:

. (19.12)

Доказательство. Воспользуемся формой Лагранжа остаточного члена:

. (19.13)

Так как правая часть (19.13) стремится к нулю при , то имеет место (19.12). ■