Виды отображений. Функциональное отображение (функция).

Рассмотрим отображение , (или) обладающее следующим свойством: каждому элементу множества ставит в соответствие по закону только один элемент множества , но каждому элементу из , в общем случае, может ставиться в соответствие и несколько элементов множества . Такое отображение называется однозначным. Не следует путать понятие однозначности с понятие взаимной однозначности, о котором речь пойдёт несколько позже.

Однозначное отображение называется функциональным отображением, или функцией.

Условие однозначности может быть записано следующим образом:

,

В виду того, что функция является отображением, в теоретико-множественном смысле она представляет собой множество упорядоченных пар. Поэтому высказывательная форма функционального отображения имеет следующий вид:

.

На рис.2.12. и рис. 2.13. приведены примеры графиков функциональных отображений, а на рис. 2.14.и рис. 2.15.─ нефункциональных отображений.

Рассматриваемое функциональное отображение представляет собой функцию одной переменной. Как известно, в математике распространены функции многих переменных. Возникает вопрос о теоретико-множественном представлении функции многих переменных.

Представим себе, что в отображении множество представляет собой декартово произведение . Тогда имеем функциональное отображение (или ), представляющее собой функцию переменных. Очевидно, что такое отображение представляет собой множество упорядоченных множеств длиной :

.

При этом элемент является образом элементов :

.