Параметрические уравнения
Здесь мы поговорим о параметрических уравнениях вообще. Рассмотрим уравнения следующего вида:
Здесь x(t), y(t) и z(t) представляют собою функции, определённые на одном и том же промежутке Δ = ‹α; β› и непрерывные на нём (с обычной оговоркой относительно концов). Возьмём какое-либо конкретное значение параметра t1 Î Δ и отметим точку с координатами (x(t1); y(t1); z(t1)). Взяв другое значение параметра, мы с помощью той же процедуры можем отметить другую точку (случайным образом она может совпасть с первой). Проделывая это с каждой точкой промежутка Δ (т. е. с каждым возможным значением параметра t), мы получим некоторую совокупность точек пространства (вообще говоря, бесконечную), которую можно назвать линией или кривой. В такой ситуации говорят, что уравнения (6) определяют эту кривую или являются параметрическими уравнениями этой линии.
Классический пример (правда, на плоскости, а не в пространстве): уравнения
представляют собою параметрические уравнения единичной окружности.
Для аналитической геометрии важен, конечно, случай, когда параметризующие функции x(t), y(t) и z(t) линейны. Итак, рассмотрим параметрические уравнения следующего вида:
Всегда будем считать, что Δ = (−∞; ∞) = R.
Теорема. Параметрические уравнения (7) при условии l = {α; β; γ} ≠ 0 определяют в трёхмерном пространстве прямую линию, проходящую через точку M0 = (x0; y0; z0), для которой вектор l является направляющим.
Доказательство. Здесь также будем предполагать, что все три числа α, β и γ не равны нулю. Обозначим через Γ множество точек, определяемое уравнениями (7), и рассмотрим уравнения
определяющие, как мы видели, прямую L, проходящую через точку M0 = (x0; y0; z0), для которой вектор l является направляющим. Нам достаточно, стало быть, доказать, что Γ = = L.
Для доказательства этого факта возьмём произвольную точку M1 = (x1; y1; z1) Î L и заметим, что для неё удовлетворяются уравнения (5):
Общее значение этих трёх величин обозначим t1; имеем:
Но это означает, что M1 = (x1; y1; z1) Î Γ. Обратно, пусть точка M2 = (x2; y2; z2) Î Γ. Это означает существование такого t2, для которого выполняются соотношения:
из которых немедленно получаем:
что означает, что M2 = (x2; y2; z2) Î L, QED.
[1] Я почерпнул его в учебнике П. С. Моденова «Аналитическая геометрия».
[2] От латинского слова mediocritas ‛середина’.
[3] Quod erat demonstrandum (лат.) ‛что и требовалось доказать’.
[4] Длину вектора a обозначаю |a| (аналогично для отрезка).
[5] Точнее, несущие прямые каких-нибудь (а значит, и любых) их представителей коллинеарны. Подобные замечания я уже не буду делать впредь.
[6] В математике используются три синонима: перпендикулярный, ортогональный и нормальный.
[7] От слова замостить (плоскость), однокоренного к слову мост.
[8] Carl Gustav Jacob Jacobi(Карл Густав Якоб Яко́би, 10.12.1804, Потсдам − 18.02.1851, Берлин) − известный немецкий математик, родной брат российского академика, физика Бориса Семёновича Якоби.
[9] Carl Gustav Jacob Jacobi(Карл Густав Якоб Яко́би, 10.12.1804, Потсдам − 18.02.1851, Берлин) − известный немецкий математик, родной брат российского академика, физика Бориса Семёновича Якоби.