Системы счисления
Ранее мы установили, что любой вид И. представляется в цифровой форме, может быть, с некоторой потерей точности. Цифровая обработка сигналов – основной принцип работы ЭВМ. Представление числовой И. тесно связано с системами счисления. Системы счисления это совокупность символов и правил написания чисел. Число – есть символ или объединение нескольких символов, представляющие количественную величину в определенной системе счисления.
Наибольшее распространение получила позиционная система счисления, а среди позиционных - десятичная система счисления. В ВТ основной системой счисления является двоичная и двоично-десятичная, а восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления вспомогательные.
В позиционной системе счисления используется конечное число P уникальных символов, называемых основанием системы счисления. В позиционной системе значение каждой цифры числа зависит от ее положения (позиции) в знаковой последовательности, представляющей это число.
В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием P можно представить в следующем виде:
Am-1+ Am-2m-20P0+ A-
Am-1Pm-1+Am-2Pm-2+ ,...+A0P0+A-1P-1+A-2P-2+....A-sP_s
где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):
· Положительные значения индексов - для целой части числа (m- разрядов),
· Отрицательные значения – для дробной (s –разрядов).
Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах:
Nmax= Pm-1-1
Минимальное значащее (не равное нулю) число, которое можно записать в s разрядах:
Nmin= P-s
В ВТ основная система - двоичная система счисления, позиционная система счисления с основанием P=2. В качестве двоичных цифр используются символы 0 и 1. Например, двоичное число:
1111.012=1*23+1*22 +1*21 +1*20+1*2-1+1*2-2=13.2510
Представление чисел в Д.С.С. рассматривается как двоичный код этого числа. Поэтому Д.С.С. широко применяют для внутреннего представления чисел в ЭВМ.
Различают представления с фиксированной и плавающей точками.
Число с фиксированной точкой (естественная форма) есть рациональное число, представленное в форме, содержащей целую и дробную части, разделенные точкой, например: 123.45 , -0.329. Используется для записи констант и при выводе Д. Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях. Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В современных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.
Число с плавающей точкой (нормальная форма) есть рациональное число, представленное в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая - порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок - целым числом. В общем виде число с плавающей т. может быть представлено так:
N=+_MPR
Где M – мантисса числа (M>1)
r – порядок числа,
P – основание системы счисления.
Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак ‘+’, код 1 – знак “-”.
Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.
Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются 4 двоичными цифрами и в таком виде записываются последовательно друг за другом.
Таблица двоичных кодов десятичных и шестнадцатеричных цифр
Цифра | A | B | C | D | E | |||||||||||
Код |
Все Д. в ЭВМ представляются в виде двоичных кодов. Для удобства работы введены следующие термины, обозначающие совокупности двоичных разрядов. Эти термины используются в качестве единиц измерения объемов И., хранимой или обрабатываемой в ЭВМ.
Последовательность нескольких битов или байтов часто называют полем Д.
Биты в числе (в слове, в поле и т. д.) нумеруются справа налево, начиная с 0-го разряда.
В ПК могут обрабатываться поля постоянной и переменной длины.
Таблица. Двоичные совокупности
Кол-во двоичных разрядов | 8*103 | 8*106 | 8*109 | 8*1012 | |||
Наименование единицы | Бит | Байт | Параграф | Килобайт (Кбайт) | Мегабайт (Мбайт) | Гигабайт (Гбайт) | Терабайт Тбайт) |
Поля постоянной длины:
Слово – 2 байта двойное слово – 4 байта
Полуслово – 1 байт расширенное слово – 8 байт
Слово длиной 10 байт.
Числа с фиксированной запятой чаще всего имеют формат слова и полуслова, числа с плавающей запятой – формат двойного слова.
Поля переменной длины могут иметь любой размер от 0 до 256 байт, но обязательно равный целому числу байтов.
Двоично-десятичный формат используется для представления символьной информации Американском стандартном коде для обмена информацией – ASCI. Этот стандарт является международным и используется для кодирования управляющих символов.
Цифр и букв латинского алфавита; в расширении стандарта кодируются символы псевдографики и буквы национального алфавита (коды 80-FF).