Решение.

Пример 7.

Пример 6.

Для сложных составных поперечных сечений, не содержащих осей симметрии, предлагается следующий порядок расчета.

1) Сначала вычерчивается поперечное сечение. Случайные оси х, у ставим так, чтобы все точки поперечного сечения находились в 1-м квадранте (рис.1). Каждому прокатному профилю присваивается порядковый номер. Наносим местные оси координат хi, уi, проходящие через известные центры тяжести i–го профиля. Оси хi, уiпараллельны случайным осям х, у соответственно.

2) Наносим на рисунок известные размеры сечения, взятые из задания или из соответствующих таблиц сортамента прокатной стали.

3) Вводим обозначения: хi, уi – абсцисса и ордината центра тяжести соответственно i–го профиля относительно случайных осей х, у; Аi – площадь сечения i–го профиля, – площадь поперечного сечения всего составного сечения; – осевые и центробежные моменты инерции i–го профиля относительно местных осей хi, уi.

4) Следуя предложенной методике, выпишем геометрические характеристики для поперечного сечения, изображенного на рис. 1:

х1 = 25 см; х2 = 43,42 см; х3 = 36,11 см; х4 = 5,32 см;

у1 = 24,8 см; у2 = 12 см; у3 = 4,89 см; у4 = 21,64 см;

5) С помощью формул

находим координаты центра тяжести всего поперечного сечения:

6) Наносим оси хс, ус, которые проходят через центр тяжести С всего составного поперечного сечения и определяем расстояния между осями хс и хi, а также между осями ус и уi:

а1 = у1ус = 24,8 – 17,5 = 7,3 см; b1 = х1хс = 25 – 27,4 = –2,4 см;

а2 = у2ус = 12 – 17,5 = –5,5 см; b2 = х2хс = 43,42 – 27,4 = 16,02 см;

а3 = у3ус = 4,89 – 17,5 = –12,61 см; b3 = х3хс = 36,11 – 27,4 = 8,71 см;

а4 = у4ус = 21,64 – 17,5 = 4,14 см; b4 = х4хс = 5,32 – 27,4 = –22,08 см.

7) Используя формулы получаем выражения для вычисления осевых моментов инерции относительно центральных осей хс и ус всего поперечного сечения:

или окончательно:

По формуле находим значение центробежного момента инерции относительно осей хс, ус:

где, согласно рис. 1, имеем так как швеллер и полоса имеют оси симметрии х2 и х1, у1 соответственно.

Для вычисления для равнополочного уголка предварительно выпишем из таблицы сортамента «Уголки стальные горячекатаные равнополочные» = 2093 см4,= 540 см4,, (рис. 2, а).

Тогда формула принимает вид:

Для вычисления для неравнополочного уголка (рис. 2, б) предварительно выпишем из таблицы сортамента

= 238,75 см4, = 784,22 см4, Iuv = 0, Iu = 142 см4, = 0,388

и затем, согласно формуле получаем:

Таким образом, формула для рассматриваемого случая принимает вид:

где = 0,388; = –21о12/ (рис.2, б), тогда

Значение центробежного момента можно вычислить, используя формулу . Для этого рассмотрим рис. 2, в. Разобьем уголок на два прямоугольника с

и .

В этом случае по формуле получаем

Как видно, результаты очень близки по значениям.

Теперь можно приступить к определению центробежного момента всего составного сечения относительно осей хс, ус:

8) Главные оси инерции можно построить, повернув центральные оси хс, ус на угол (рис. 1):

9) Величины главных моментов инерции определяем по формуле

Окончательно получаем, что Imax = 48582 см4, Imin = 13438 см4.

Полученные значения удовлетворяют условию :

Таким образом, определены все геометрические характеристики сложного составного поперечного сечения, показанного на рис.1.

 

Определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции для сечения (см. рис.), состоящего из неравнобокого уголка №14/9 (ГОСТ 8510-57) и швеллера №24 (ГОСТ 8240-56).

Разбиваем фигуру на части, геометрические характеристики которых можно взять из таблиц сортамента, на швеллер и уголок; через их центр тяжести c1 и c2 проводим центральные оси z1, y1 и z2, y2, параллельные их сторонам. Поскольку z1 - ось симметрии швеллера, то она и ось y1 являются его главными центральными осями. Главная центральная ось уголка v-v образует с его центральной осью z2 угол .

Из таблиц сортамента имеем:

Для швеллера №24 F1=30,6 см2

координаты центра тяжести

h=24 см b=9 см

Для уголка №14/9 F2=22,2 см2

координаты центра тяжести

1) Определим координаты центра тяжести всего сечения, для этого принимаем за исходные оси главные центральные оси швеллера z1 и y1 и согласно (4.4) получаем:

Через центр тяжести C проводим центральные оси zc и yc, параллельные проведенным ранее центральным осям швеллера и уголка.

Для проверки правильности определения координат центра тяжести, вычислим статические моменты относительно центральных осей zc и yc, которые должны быть равны нулю.

Получаем:

2) Вычислим осевые и центробежный моменты инерции всего сечения в системе центральных осей zc, yc по формулам:

для швеллера , т.к. оси z1 и y2 являются для швеллера главными центральными; для уголка согласно сортамента.

3) Определяем угол наклона главных центральных осей u и v относительно центральных осей zc, yc:

Поскольку угол отрицательный, он откладывается по ходу часовой стрелки, а т.к. , то поворотом оси z на угол, меньший 45°, мы получим направление главной центральной оси u, относительно которой главный момент инерции максимален Iu=Imax.

4) Главные моменты инерции определяем по формулам

Проверки: а) Определяем центробежный момент инерции относительно главных центральных осей , который должен быть равен нулю:

б) Определим главные центральные моменты инерции Iu и Iv по формулам:

Iu=Imax=3445,0 + 2585,6 = 6030,6 см4

Iv=Imin=3445,0 - 2585,6 = 859,4 см4

Максимальное расхождение составляет:

.

в) Должно удовлетворяться условие:

Расхождение составляет:

.

5. Определение моментов сопротивления сечения.

Наиболее удаленными точками от осей u и v являются точки A и B:

yB = yA = -17,94 см

По формулам получаем:

6. Радиусы инерции вычисляются по формулам (4.35), (4.36):

F = F1 + F2 = 30,6 +22,2 = 52,8 см2

Откладывая отрезки iu=10,69см и iv=4,03см перпендикулярно соответствующим осям, строим на них, как на полуосях, эллипс инерции (см. рис.).