Решение.

Пример 7.

Пример 6.

Для сложных составных поперечных сечений, не содержащих осей симметрии, предлагается следующий порядок расчета.

1) Сначала вычерчивается поперечное сечение. Случайные оси х, у ставим так, чтобы все точки поперечного сечения находились в 1-м квадранте (рис.1). Каждому прокатному профилю присваивается порядковый номер. Наносим местные оси координат х_i, у_i, проходящие через известные центры тяжести i–го профиля. Оси х_i, у_iпараллельны случайным осям х, у соответственно.

2) Наносим на рисунок известные размеры сечения, взятые из задания или из соответствующих таблиц сортамента прокатной стали.

3) Вводим обозначения: х_i, у_i – абсцисса и ордината центра тяжести соответственно i–го профиля относительно случайных осей х, у; А_i – площадь сечения i–го профиля, – площадь поперечного сечения всего составного сечения; – осевые и центробежные моменты инерции i–го профиля относительно местных осей х_i, у_i.

4) Следуя предложенной методике, выпишем геометрические характеристики для поперечного сечения, изображенного на рис. 1:

х₁ = 25 см; х₂ = 43,42 см; х₃ = 36,11 см; х₄ = 5,32 см;

у₁ = 24,8 см; у₂ = 12 см; у₃ = 4,89 см; у₄ = 21,64 см;

5) С помощью формул

находим координаты центра тяжести всего поперечного сечения:

6) Наносим оси х_с, у_с, которые проходят через центр тяжести С всего составного поперечного сечения и определяем расстояния между осями х_с и х_i, а также между осями у_с и у_i:

а₁ = у₁ – у_с = 24,8 – 17,5 = 7,3 см; b₁ = х₁ – х_с = 25 – 27,4 = –2,4 см;

а₂ = у₂ – у_с = 12 – 17,5 = –5,5 см; b₂ = х₂ – х_с = 43,42 – 27,4 = 16,02 см;

а₃ = у₃ – у_с = 4,89 – 17,5 = –12,61 см; b₃ = х₃ – х_с = 36,11 – 27,4 = 8,71 см;

а₄ = у₄ – у_с = 21,64 – 17,5 = 4,14 см; b₄ = х₄ – х_с = 5,32 – 27,4 = –22,08 см.

7) Используя формулы получаем выражения для вычисления осевых моментов инерции относительно центральных осей х_с и у_с всего поперечного сечения:

или окончательно:

По формуле находим значение центробежного момента инерции относительно осей х_с, у_с:

где, согласно рис. 1, имеем так как швеллер и полоса имеют оси симметрии х₂ и х₁, у₁ соответственно.

Для вычисления для равнополочного уголка предварительно выпишем из таблицы сортамента «Уголки стальные горячекатаные равнополочные» = 2093 см⁴,= 540 см⁴,, (рис. 2, а).

Тогда формула принимает вид:

Для вычисления для неравнополочного уголка (рис. 2, б) предварительно выпишем из таблицы сортамента

= 238,75 см⁴, = 784,22 см⁴, I_uv = 0, I_u = 142 см⁴, = 0,388

и затем, согласно формуле получаем:

Таким образом, формула для рассматриваемого случая принимает вид:

где = 0,388; = –21^о12^/(рис.2, б), тогда

Значение центробежного момента можно вычислить, используя формулу . Для этого рассмотрим рис. 2, в. Разобьем уголок на два прямоугольника с

и .

В этом случае по формуле получаем

Как видно, результаты очень близки по значениям.

Теперь можно приступить к определению центробежного момента всего составного сечения относительно осей хс, ус:

8) Главные оси инерции можно построить, повернув центральные оси х_с, у_с на угол (рис. 1):

9) Величины главных моментов инерции определяем по формуле

Окончательно получаем, что I_max = 48582 см⁴, I_min = 13438 см⁴.

Полученные значения удовлетворяют условию :

Таким образом, определены все геометрические характеристики сложного составного поперечного сечения, показанного на рис.1.

Определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции для сечения (см. рис.), состоящего из неравнобокого уголка №14/9 (ГОСТ 8510-57) и швеллера №24 (ГОСТ 8240-56).

Разбиваем фигуру на части, геометрические характеристики которых можно взять из таблиц сортамента, на швеллер и уголок; через их центр тяжести c₁ и c₂ проводим центральные оси z₁, y₁ и z₂, y₂, параллельные их сторонам. Поскольку z₁ - ось симметрии швеллера, то она и ось y₁ являются его главными центральными осями. Главная центральная ось уголка v-v образует с его центральной осью z₂ угол .

Из таблиц сортамента имеем:

Для швеллера №24 F₁=30,6 см²

координаты центра тяжести

h=24 см b=9 см

Для уголка №14/9 F₂=22,2 см²

координаты центра тяжести

1) Определим координаты центра тяжести всего сечения, для этого принимаем за исходные оси главные центральные оси швеллера z₁ и y₁ и согласно (4.4) получаем:

Через центр тяжести C проводим центральные оси z_c и y_c, параллельные проведенным ранее центральным осям швеллера и уголка.

Для проверки правильности определения координат центра тяжести, вычислим статические моменты относительно центральных осей z_c и y_c, которые должны быть равны нулю.

Получаем:

2) Вычислим осевые и центробежный моменты инерции всего сечения в системе центральных осей z_c, y_c по формулам:

для швеллера , т.к. оси z₁ и y₂ являются для швеллера главными центральными; для уголка согласно сортамента.

3) Определяем угол наклона главных центральных осей u и v относительно центральных осей z_c, y_c:

Поскольку угол отрицательный, он откладывается по ходу часовой стрелки, а т.к. , то поворотом оси z на угол, меньший 45°, мы получим направление главной центральной оси u, относительно которой главный момент инерции максимален I_u=I_max.