Решение.

Пример 19.

Рис. 4 Рис.5

Рис. 2 Рис. 3

Решение.

Рис.1

А) б) в)

Пример 18.

Для стального ступенчатого бруса (см. рис.1) (МПа), нагруженного силами, кратными F= 30 кН, с длиной участков l= 0,4 м при допускаемом нормальном напряжении = 160 МПа требуется:

1. Определить величину продольных сил на каждом участке бруса и построить их эпюру.

2. Подобрать площади поперечных сечений для каждого участка бруса.

3. Вычислить полную деформацию бруса и построить эпюру перемещений.

4. Определить перемещение заданного сечения А-А.

N, кН , м

1. Определение величины продольных сил. Разбиваем брус на четыре участка и определяем продольные силы N.

Участок KL: рассекаем брус поперечным сечением и отбрасываем ту его часть, на которой расположена заделка. Заменяем ее действие неизвестной, продольной силой N₁, предположительно направив ее на растяжение, т.е. от сечения (рисунок 2). Составляем уравнение статического равновесия, выбрав положительное направление осиZ, и определяем величину продольной силы N₁:

; N₁ = 0;

Участок DK: аналогично участку KL делаем сечение в любом месте по длине участка DK; отбрасываем верхнюю часть с заделкой, заменяем верхнюю отброшенную часть бруса неизвестной продольной силой N₂ , также направив ее на растяжение (рисунок 3) и составляем условие статического равновесия:

; 2F + N₂ = 0;

N₂ = - 2F = -2×30 = - 60 кН.

Отрицательное значение продольной силы N₂ говорит о том, что действительное направление этой силы противоположное, т.е. не на растяжение, а на сжатие. Исправляем свою ошибку, направив силу N₂ в обратную сторону, и отбросив минус в ее значении.

Участок СD: продольную силу N₃ определяем аналогично определению продольных сил на участках KL и DK (рисунок 4).

; 2F – 5F+ N₃ = 0;

N₃ = 5F –2F = 3F = 3 ×30 = 90 кН.

В данном случае получили знак продольной силы N₃ положительный. Это говорит о том, что выбранное направление силы N₃ сделано верно .

Участок ВC: для расчетной схемы (рис. 5) аналогично выше изложенному получаем:

; 2F – 5F - F+ N₄ = 0;

N₄ = 5F + F – 2F = 4F = 4×30 = 120 кН.

Знак у продольной силы N₄положительный – направление ее выбрано верно.

Далее строим эпюру продольных сил. Условимся откладывать положительные значения продольных сил справа от оси, а отрицательные (сжимающие) – слева от оси (рисунок 4,б):

1. Участок KL: продольная сила N₁ = 0;

2. Участок DK: продольная сила N₂ = 60 кН вызывает сжатие. Следовательно, откладывается в отрицательную сторону.

3. Участок СD: величина продольной силы N₃ = 90 кН, она направлена на растяжение и, соответственно, откладывается в положительную сторону от оси эпюры.

4. Участок ВС: здесь продольная сила N₄ = 120 кН растягивает стержень и откладывается в положительную сторону.

Правило проверки эпюры продольных сил: в точке приложения к брусу внешней сосредоточенной нагрузки на эпюре появляется скачок, равный величине внешней нагрузки и направленный в сторону действия этой нагрузки.

2. Подбор площадей поперечных сечений для каждого участка бруса. Величины площадей поперечных участков находятся из условия прочности при растяжении и сжатии.

; отсюда .

Участки KL и DK: Площади поперечных сечений участков KL и DK, согласно расчетной схемы, одинаковы и будут равны

Участок СD:

Участок ВС:

3. Вычисление полной деформации бруса и построение эпюры перемещений.

Полная деформация бруса равна алгебраической сумме деформаций его участков:

Для определения полной деформации бруса необходимо определить деформации всех отдельных участков.

Абсолютное линейное удлинение (укорочение) участка бруса длиной l согласно закону Гука равно:

Определяем деформации отдельных участков.

Участок KL: т.к. N₁ = 0;

Участок DK:

Участок CD:

Участок ВC:

Полная линейная деформация бруса будет равна:

(0 – 0,32 + 0,32 + 0,32 + 0,32)×10^-3= 0,32×10^-3м.

Построение эпюры перемещений начинаем от защемления (сечения В), т.к. по условию задачи это сечение не может перемещаться, т.е. .

Перемещение сечения С численно будет равно деформации участка ВС: м.

Для остальных участков аналогично получим:

;

Построение эпюры перемещений (рис.1, в) выполняется аналогично построению эпюры продольных сил; проводим ось эпюры перемещений параллельно оси стержня и откладываем в выбранном масштабе значения величин перемещений сечений бруса с учетом их знаков и соединяем их прямыми линиями.

4. Определение перемещения заданного сечения. Перемещение заданного сечения А-А будет складываться из перемещения точки D и деформации отрезка длиной l₀(рис. 1,а):

;

На расчетной схеме рисунок 1 проводим на уровне сечения А-А линию до пересечения ее с эпюрой перемещений . Эта линия должна отсечь на этой эпюре отрезок, равный вычисленному значению м (см. рис.1,б).

Для изображенного на рис. а стержня простроить эпюру нормальных сил и перемещений поперечных сечений.

а) в) г)

1. Определение опорной реактивной силы

Уравнение равновесия сил, направленных по оси Z, имеет вид

откуда

2. Определение внутренних нормальных сил N методом сечений и построение эпюры N(z)

Стержень имеет три участка, границами которых служат сечения, где приложены внешние силы . Для обнаружения нормальных сил на этих участках используем метод сечений. Мысленно рассекаем стержень на каждом из участков на расстояниях и рассматриваем равновесие одной из частей рассеченного стержня, заменяя действие отброшенных частей внутренними нормальными силами (рисунок 1, б). В результате получаем уравнения равновесия

С учетом находим

Нормальные силы на каждом из участков известны, что позволяет легко построить график-эпюру нормальных сил (рис. в).

Из эпюры находим опасное сечение или участок, где нормальные силы максимальны. Таким оказывается второй участок, на котором

3. Расчет на прочность

Для опасных сечений второгоучастка составляем условие прочности

Различают три типа расчета на прочность.

Проверочный расчет на прочность

Известны все величины в условии прочности. Пусть, например .

Тогда

что меньше допускаемого значения . Следовательно, стержень удовлетворяет условию прочности.

Проектировочный расчет на прочность

Требуется найти диаметр круглого поперечного сечения стержня, для которого площадь сечения определяется формулой .

Тогда

тогда

Сохраняя значения , получаем

Округляя, принимаем .

Расчетное напряжение

, что меньше допускаемого на 5,8 %.

Определение допускаемой нагрузки

Имеем

Пусть , тогда

4. Построение эпюры перемещений

Поскольку в задаче мы имеем три участка с различными значениями нормальных сил, то формулу удобно записать в виде

где – номер участка; – постоянная в начале i-го участка; – текущая координата сечения i-го участка; – жесткость i-го участка, – координаты начального сечения i-го участка.