В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью.

Многоугольник сечения может быть построен двумя способами:

1. Вершины многоугольника нахо-дятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью;

2. Стороны многоугольника нахо-дятся как линии пересечения граней (плоскостей) многогранника с секущей плоскостью.

На рис. 12.2 показано построение сечения пирамиды плоскостью S.

Секущая плоскость является фронтально-проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, совпадут с фронтальным следом S₂ плоскости S. Следовательно, фронтальная проекция 1₂2₂3₂ сечения определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом S(S)₂. Горизонтальные проекции точек 1(1₁), 2(2₁) и 3(3₁) находим из условия принадлежности точек ребрам пирамиды.

Пример 3. Построить линию пересечения цилиндрической поверхности вращения с плоскостью S(S)₂ (рис. 12.3).

Решение. Вначале находим опорные точки A(A₁, A₂), B(B₁, B₂), C(C₁, C₂) и D(D₁, D₂). Точки А и В находятся в пересечении образующих фронтального контура поверхности и плоскости S (вначале определяем A₂ и B₂, а затем по линиям проекционной связи – A₁ и B₁). Точки С и D являются точками пересечения горизонтального контура поверхности и плоскости S. На П₂ горизонтальный контур совпадает с проекцией оси поверхности вращения, а на П₁ является очерком. Тогда вначале строим C₂ и D₂, а затем C₁ и D₁.

Точки 1(1₁, 1₂), 2(2₁, 2₂), …, 8(8₁, 8₂) – это промежуточные точки сечения. Они построены введением промежуточных прямолинейных образующих поверхности. Вначале проводим проекции образующих на П₂, например через точки 1₂, 2₂ (образующие – фронтально конкурирующие). На П₃ эти образующие проецируются в точки 1₃ и 2₃. Горизонтальные проекции образующих построены по двум заданным, как показано на рис. 12.3, отложив соответствующие значения координаты y.

12.2. Пересечение конической поверхности вращения плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конической поверхности вращения могут получиться различные линии. Они называются коническими сечениями. На рис. 12.4 приведена фронтальная проекция конической поверхности вращения (ось i параллельна П₂) и фронтально проецирующие плоскости …,На рис. 12.5 показаны наглядные изображения результатов пересечения плоскостями тел, ограниченных конической поверхностью вращения.

В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 12.4, а).

Эллипс получается в том случае, если секущая плоскость пересекает все образующие поверхности и не перпендикулярна оси i (рис. 12.4, б).

Плоскость параллельна одной образующей поверхности и пересекает одну половину конической поверхности. Сечением является парабола (рис. 12.4, в).

Плоскость параллельна двум образующим и пересекает обе половины конической поверхности (сечение – гипербола) (рис. 12.4, г).

Плоскость проходит через вершину конической поверхности (сечение – две пересекающиеся прямые) (рис. 12.4, д).

а) б) в) г) д)

Рис. 12.5