Расстояние от точки до фигуры (точки, прямой, плоскости)

Определение расстояний

Рассмотрим только определение расстояний, поскольку НВ плоской фигуры была рассмотрена в п. 4.

Приведем сведения из планиметрии, необходимые для решения обозначенных задач.

1. Длина отрезка есть расстояние между его концами.

2. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Задача.Определить длину отрезка АВ (рис. 8.1).

В п. 4 было приведено решение этой задачи методом замены плоскостей проекций. Рассмотрим другое решение – решение методом прямоугольного треугольника. Его обоснование выполним, опираясь на указанный метод замены. Выполняя решение данной задачи методом замены, получим А₄В₄ – искомую длину. Видим, что в соответствии с методом замены Е₄В₄ = b. Поэтому, отложив на линии В₁В₄ ^ х₁ от точки В₁ отрезок B₁D₁ = E₄В₄ = b, получим прямоугольный треугольник А₁В₁D₁ , в котором А₁D₁ = А₄В₄ , т.е. длина гипотенузы А₁D₁ есть искомая длина. Следовательно, длину отрезка АВ можно определить на плоскости проекций П₁ используя расстояние b, снятое на плоскости проекций П₂ . При этом замена плоскостей проекций с осью х₁ не нужна. Аналогично можно определить искомую длину на плоскости П₂ . Для этого выстраиваем прямоугольный треугольник B₂A₂C₂ , у которого С₂А₂ = а, где а определено на П₁ . В итоге получаем В₂С₂ = В₁С₁ – искомая длина отрезка АВ. Понятно, что необходимо строить лишь один из двух приведенных прямоугольных треугольников.

Задача. Даны прямая АВ и точка Е вне прямой (рис. 8.2). Требуется определить расстояние r (Е, АВ).

Проекционный алгоритм решения может быть следующим:

1) методом замены плоскостей проекций определяется длина отрезка АВ. На П₄ она равна А₄В₄ ;

2) строится дополнительная на П₄ проекция Е₄ точки Е;

3) вводится новая система плоскостей проекций П₄, П₅ такая, что ее ось проекций х₂ перпендикулярна А₄В₄;

4) на П₅ строятся дополнительные

проекции отрезка АВ и точки Е. Проекциями будут соответственно точки А₅ = В₅ и Е₅ .

Расстояние r(F₅, Е₅) является искомым расстоянием между данными прямой и точкой. Возвращаем затем последовательно проекции отрезка EF на П₄, П₁, П₂. Для этого проводим вначале E₄F₄ // x₂ , а затем строим: (F₅, F₄ ) Þ F₁ ; (F₄ , F₁ ) Þ F₂.

В итоге получаем E₁F₁ , E₂F₂ – основные проекции отрезка EF, длина которого есть искомое расстояние. Необходимо отметить, что если не учитывать полученные построения на П₅ , то оставшиеся построения на П₂, П₁ и П₄ соответствуют решению задачи о проведении прямой EF через данную точку Е, пересекающей под 90° данную прямую АВ.

Задача. Даны плоскость Σ (ΔАВС) и точка Е. Определить расстояние от точки Е до плоскости Σ (рис. 8.3).

Решение задачи может быть выполнено методом замены плоскостей проекций. Проекционный алгоритм решения в этом случае следующий:

1) в плоскости Σ строится линия уровня,

например h(h₁, h₂) , так, что h₂ // x;

2) вводится новая система плоскостей проекций П₁, П₄ с осью х₁ так, что х₁ ^ h₁;

3) на П₄ строятся дополнительные проекции заданных фигур – В₄С₄ для ΔАВС и Е₄ для точки Е;

4) длина перпендикуляра E₄F₄ есть искомое расстояние r(Е, Σ).

Для полноты решения строим проекции отрезка EF на основных плоскостях проекций. Для этого строим вначале E₁F₁ // х₁ , а затем (F₄ , F₁) Þ F₂ ; E₂F₂ , E₁F₁ – основные проекции отрезка EF длины r.