Требования к математическим моделям

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. ММ отражает лишь некоторые свойства объекта. Большинство ММ, используемых при функциональном проектировании, предназначено для отображения протекающих в объекте физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства объекта, как геометрическая форма. Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома характеризует свойство резистора пропускать электрический ток, но не отражает габариты резистора, его цвет, механическую прочность и т.п.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Адекватность ММ – способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной.

Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинных времени и памяти) на ее реализацию. Вместо величины затрат, зависящей не только от свойств модели, но и от особенностей применяемой ЭВМ, часто используют другие величины: размерность системы уравнений, количество используемых в модели внутренних параметров и др.

Классификация математических моделей

Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические.

В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов. Могут иметь форму графов, таблиц (матриц).

В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов есть сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей, алгебрологических соотношений (алгебра логики), описывающих области, составляющие тело объекта.

Типы геометрических ММ.

Аналитические ММ – уравнения поверхностей и линий.

Алгебрологические ММ – тела описываются системами логических выражений, отражающих условия принадлежности точек внутренним областям тел.

Для сложных поверхностей аналитические и алгебрологические модели слишком громоздки, их трудно создавать и использовать. Поэтому применяются каркасные и кинематические.

Каркасные ММ – это каркасы, т.е. конечные множества элементов, например точек или кривых, принадлежащих моделируемой поверхности. Выбор каркаса в виде линий, образующих сетку на описываемой поверхности, приводит к разбиению поверхности на отдельные участки. Каждый участок, имеющий малые размеры, может быть описан простыми уравнениями. Коэффициенты этих уравнений рассчитываются исходя из плавности сопряжений участков.

Кинематические ММ – поверхность представляется в параметрическом виде R (u, v), где R= f (x, y, z), u и v – параметры. Такую поверхность можно получить перемещением в трехмерном пространстве кривой R (u), которая в данном случае будет образующей, по некоторой направляющей линии.

Канонические модели используют в случаях, когда удается выделить параметры, однозначно определяющие геометрический объект и в то же время имеющие простую связь с его формой. (плоский многоугольник – координаты вершин; цилиндр – радиус цилиндра, направляющие косинусы, координаты некоторой точки оси).

ФункциональныеММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении.