Представление чисел с плавающей запятой

При фиксированном числе разрядов мантиссы любая величина представляется в машине с наибольшей возможной точностью норма­лизованным числом.

Число х = s"q называется нормализованным, если мантисса q удо­влетворяет условию

1> |q| ³ 1/s, (2.4)

т. е. старший разряд мантиссы в s-ричной системе отличен от нуля. В процессе вычислений может получаться ненормализованное число. В этом случае машина, если это предписано командой, авто­матически нормализует его («нормализация результата» операции).

Пусть r старших разрядов s-ричной мантиссы равны 0. Тогда нормализация заключается в сдвиге мантиссы на r разрядов влево и уменьшении порядка на r единиц, при этом в младшие r раз­рядов мантиссы записывается 0. После такой операции число не ме­няется, а условие (2.4) выполняется. При нулевой мантиссе нормали­зация невозможна.

В различных ЭВМ применяются представления чисел с плаваю­щей запятой в системах счисления с различными основаниями, но равными целой степени числа 2 (s = 2^w), при этом порядок р пред­ставляется целым числом, а мантисса q — числом, в котором группы по w двоичных разрядов изображают цифры мантиссы с основанием системы счисления s= 2^w.

Примерами применяемых форм чисел с плавающей запятой с раз­личными основаниями системы счисления являются

x=2^pq (1 > |q| ³1/2);

x=8^pq (I > |q| ³ 1/8);

x = l6^pq (I > |q| ³ 1/16).

В скобках указаны соответствующие условия получения нормали­зованных чисел.

Использование для чисел с плавающей запятой недвоичного осно­вания несколько уменьшает точность вычислений (при заданном числе разрядов мантиссы), но позволяет увеличить диапазон представляемых в машине чисел и ускорить выполнение некоторых операций, в частно­сти нормализации, за счет того, что сдвиг может производиться сразу на несколько двоичных разрядов (на четыре разряда для s = 16). Кроме того, уменьшается вероятность появления ненормализованных чисел в ходе вычислений.

Диапазон представимых в машине чисел с плавающей запятой за­висит от основания системы счисления и числа разрядов, выделенных для изображения порядка. Точность вычислений при плавающей за­пятой определяется числом разрядов мантиссы. С увеличением числа разрядов мантиссы увеличивается точность вычислений, но увеличи­вается и время выполнения арифметических операций.

Задачи, решаемые на ЭВМ, предъявляют различные требования к точности вычислений. Поэтому во многих машинах используется не­сколько форматов с плавающей запятой с различным числом разря­дов мантиссы.