Аналитические методы

Методы Анализа выживаемости в основном применяются к тем же статистическим задачам, что и другие методы, однако их особенность в том, что они применяются к цензурированным или, как иногда говорят, неполным данным. Отметим также, что более часто, чем обычная функция распределения, в этих методах используется так называемая функция выживания, представляющая собой вероятность того, что объект проживет время больше t. Построение таблиц времен жизни, подгонка распределения выживаемости, оценивание функции выживания с помощью процедуры Каплана-Мейера являются описательными методами исследования цензурированных данных. Некоторые из предложенных методов позволяют сравнивать выживаемость в двух и более группах. Наконец, Анализ выживаемости содержит регрессионные модели для оценивания зависимостей между многомерными непрерывными переменными со значениями типа времена жизни.

Анализ таблиц времен жизни

Наиболее естественным способом описания выживаемости в выборке явлвется построение Таблиц времен жизни. Техника таблиц времен жизни - один из старейших методов анализа данных о выживаемости (времен отказов) (см., например, работы Berkson and Gage, 1950; Cutler and Ederer, 1958; Gehan, 1969).

Такую таблицу можно рассматривать как "расширенную" таблицу частот. Область возможных времен наступления критических событий (смертей, отказов и др.) разбивается на некоторое число интервалов.

Для каждого интервала вычисляется число и долю объектов, которые в начале рассматриваемого интервала были "живы", число и долю объектов, которые "умерли" в данном интервале, а также число и долю объектов, которые были изъяты или цензурированы в каждом интервале.

На основании этих величин вычисляются некоторые дополнительные статистики:

• Число изучаемых объектов
• Доля умерших
• Доля выживших
• Кумулятивная доля выживших (функция выживания)
• Плотность вероятности
• Функция интенсивности
• Медиана ожидаемого времени жизни
• Объем выборки

Число изучаемых объектов.Это число объектов, которые были "живы" в начале рассматриваемого временного интервала, минус половина числа изъятых или цензурированных объектов.

Доля умерших.Эта отношение числа объектов, умерших в соответствующем интервале, к числу объектов, изучаемых на этом интервале.

Доля выживших.Эта доля равна единице минус доля умерших.

Кумулятивная доля выживших (функция выживания).Это кумулятивная доля выживших к началу соответствующего временного интервала. Поскольку вероятности выживания считаются независимыми на разных интервалах, эта доля равна произведению долей выживших объектов по всем предыдущим интервалам. Полученная доля как функция от времени называется также выживаемостью или функцией выживания [точнее, это оценка функции выживания].

Плотность вероятности.Это оценка вероятности отказа в соответствующем интервале, определяемая таким образом::

F_i = (P_i-P_i+1) /h_i

где F_i - оценка вероятности отказа в i-ом интервале, P_i - кумулятивная доля выживших объектов (функция выживания) к началу i-го интервала, h_i - ширина i-ого интервала.

Функция интенсивности.Функция интенсивности (этот термин был впервые использован в работе Barlow, 1963) определяется как вероятность того, что объект, выживший к началу соответствующего интервала, откажет или умрет в течение этого интервала. Оценка функции интенсивности вычисляется как число отказов, приходящихся на единицу времени соответствующего интервала, деленное на среднее число объектов, доживших до момента времени, находящегося в середине интервала.

Медиана ожидаемого времени жизни.Это точка на временной оси, в которой кумулятивная функция выживания равна 0.5. Другие процентили (например, 25- и 75-процентиль или квартили) кумулятивной функции выживания вычисляются по такому же принципу. Отмети, что 50-процентиль (медиана) кумулятивной функции выживаемости обычно не совпадает с точкой выживания 50% выборочных наблюдений. (Совпадение происходит только когда за прошедшее к этому моменту время не было цензурированных наблюдений).

Объем выборки.Чтобы получить надежные оценки трех основных функций (функции выживания, плотности вероятности и функции интенсивности) и их стандартных ошибок на каждом временном интервале, рекомендуется использовать не менее 30 наблюдений.