Перпендикулярность прямых и плоскостей

Определение 14.

Две прямые (прямая и плоскость, две плоскости) называются перпендикулярными или ортогональными, если ортогональны направляющие их подпространства.

На языке символов определение запишется следующим образом:

1) , , i, j=1, ;

2) , , i=1, j=1, 2, ;

3) , , i,j=2, .

Далее можно доказывать все теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей, например в объеме школьного курса геометрии. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 22.

Перпендикулярные прямые (прямая и плоскость, плоскости) не могут быть параллельными.

Доказательство следует из свойства 2.

Теорема 23 (признак перпендикулярности прямой и плоскости).

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.

Дано: , , , , , .

Доказать: .

Доказательство. Так как s₁ s₂, то векторы – базис плоскости s (рис. 4.23): .

Покажем, что любой направляющий вектор плоскости s перпендикулярен любому направляющему вектору прямой t. Выразим вектор через векторы и : . Из условия следует . Тогда

.

Значит, направляющие подпространства плоскости s и прямой t полностью ортогональны, т.е. (по определениям 13 и 14). Теорема доказана.

Теорема 24

На любой плоскости существуют ортогональные базисы.

Доказательство. Допустим, что – базис плоскости s (рис. 4.24).

Если , то базис – ортогональный. Пусть векторы и не перпендикулярны. Рассмотрим вектор , удовлетворяющий условию , т.е. , т.е. , , отсюда . Так как , число a определяется однозначно и , т.е. – ортогональный базис плоскости s.

Если , то базис – ортогональный. Пусть векторы и не перпендикулярны. Рассмотрим вектор , удовлетворяющий условию , т.е. , т.е. , , отсюда . Так как , число a определяется однозначно и , т.е. – ортогональный базис плоскости s.

Теорема доказана.

Теорема 25

В пространстве существуют ортогональные базисы, состоящие из трех попарно ортогональных векторов.

Доказательство. Пусть, что – базис пространства, причем (рис. 4.25). По теореме 24 такие векторы существуют.

Третий вектор ортогонального базиса будем искать в виде и потребуем выполнения условий и . Получим систему уравнений с неизвестными a и b: , т.е. . Так как , и то и . Таким образом. – ортогональный базис пространства. Теорема доказана.

Теорема 26

На плоскости s даны точка А и прямая s. Через данную точку в плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.

Доказательство. Дополним базисный вектор прямой s до ортогонального базиса плоскости. . Тогда прямая – искомая: (рис. 4.26).

Докажем единственность прямой. Пусть имеется и , тогда и , откуда , ; так как , то a=0, и . Теорема доказана.

Теорема 27

Через данную точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Доказательство. Пусть – ортогональный базис пространства, – ортогональный базис данной плоскости, тогда – искомая прямая (объясните, почему), т.е. (рис. 4.27).

Докажем, что такая прямая единственная. Пусть – прямая, удовлетворяющая тем же условиям: . Разложим вектор по базису: . Так как , , то и : . При условии получим , т.е. и . Теорема доказана.

Теорема 28

Любые две перпендикулярные прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в единственной общей точке.

Доказательство. Две перпендикулярные прямые не могут быть параллельными. Далее применим теорему 21.

Теорема 29

Любые две перпендикулярные плоскости пересекаются по прямой.

Доказательство. Перпендикулярные плоскости не параллельны. Далее применим теорему 18.

Литература

1. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: кн. для учителя. – М. : Просвещение, 1985.

2. Основания геометрии. Ч. 1. Методическая разработка для студентов-заочников матем. ф-тов пед. ин-тов / сост. З.И. Андреева, Л.Я. Панкратова. – Пермь : ПГПИ, 1982.