Ортогональные подпространства

Пусть прямая и плоскость заданы направляющими подпространствами. Будем их обозначать Lⁱ (i=1, 2).

Определение 11.

Вектор ортогонален подпространству Lⁱ (i=1, 2), если ортогонален любому вектору этого подпространства, т.е. .

Определение 12.

Два подпространства Lⁱ и L^j (i,j=1, 2) называются ортогональными, если каждое из них содержит ненулевой вектор, ортогональный другому подпространству.

Определение 13.

Два подпространства называются полностью ортогональными, если каждый вектор одного подпространства ортогонален каждому вектору другого подпространства.

Свойства ортогональных подпространств:

1. Если подпространства полностью ортогональны, то их пересечением является нулевой вектор.

Доказательство. Допустим, что , т.е. , , тогда . По аксиоме Е₄ .

2. Если подпространства ортогональны, то ни одно из них не является подмножеством другого.

Доказательство. Пусть и , т.е. . По определению существует вектор , , тогда и . По аксиоме Е₄ , что противоречит условию.

3. Если два одномерных или одномерное и двумерное подпространства ортогональны, то они полностью ортогональны.

Доказательство. 1) Рассмотрим два одномерных пространства Lⁱ и L^j (i,j=1). Пусть – их базисные векторы соответственно. По условию Lⁱ ^ L^j, т.е. и . Для произвольных векторов и этих подпространств имеем: , т.е. .

2) Рассмотрим одномерное пространство Lⁱ и двумерное подпространство L^j (i=1, j=1, 2). Пусть – базис Lⁱ, – базис L^j. Причем , , т.е. и . Тогда для произвольного вектора получим: , т.е. каждый вектор одного из подпространств ортогонален каждому вектору другого.