Определение линейного пространства

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Лекция 13

Биологический круговорот азота в природе.

Круговорот азота в природе складывается из следующих процессов:

1.Растения усваивают соли аммония и нитраты, включая азот этих солей в свои органические вещества, усваивается также часть азота, связанный с клубеньковыми бактериями.

2.Животные, поедая растения, переводят азот в состав своих органических соединений.

3.После отмирания растений, животных и микробов их остатки разлагаются аммонификаторами с образованием минерального азота – аммония, часть аммиака переходит в нитраты.

4.Определенная часть нитратов в процессе денитрификации при неблагоприятных условиях восстанавливается до молекулярного азота, который улетучивается в атмосферу.

5.Свободноживущие и симбиотические азотфиксирующие микробы связывают молекулярный азот, вовлекая его в биологический круговорот.

Стадии биологического круговорота азота:

1. Фиксация азота свободно живущими микробами.

2. Симбиотическая фиксация азота.

3. Прижизненные выделения азотсодержащих соединений.

4. Усвоение растениями азота, накопленного симбионтами.

5. Питание животных.

6. Аммонификация.

7. Усвоение растениями аммонийных солей.

8. Нитрификация.

9. Усвоение растениями нитратов.

10. Денитрификация.

11. Вымывание органического азота из почвы.

Определение. Множество R,состоящее из элементов, для которых определена операция сравнения, называется линейным пространством, если

(1). Каждой паре элементов этого множества поставлен в соответствие третий элемент этого же множества, называемый их суммой и обозначаемый , таким образом, что выполнены аксиомы

а) ;

б) ;

в) существует нулевой элемент , такой, что для любого имеет место ;

г) для каждого существует противоположный элемент , такой, что .

(2). Для любого элемента и любого числа существует такой принадлежащий R элемент, обозначаемый и называемый произведением числа на элемент, что выполнены аксиомы:

а) ;

б) .

(3). Для операций сложения элементов и умножения элемента на число выполнены аксиомы дистрибутивности:

а) ;

б) и для любых чисел .

Замечание. Первая группа аксиом равносильна требованию, чтобы R являлось абелевой группой относительно операции сложения.

Линейным пространством является :

(1). Множество всех векторов на плоскости.

(2). Множество всех векторов в пространстве.

(3). Множество всех n-компонентных столбцов.

(4). Множество всех многочленов степени не выше, чем n.

(5). Множество всех матриц размера .

(6). C[a,b] – множество всех функций, непрерывных на [a,b].

(7). Множество всех решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными

Теорема 13.1Линейное пространство имеет единственный нулевой элемент.

Доказательство.

Пусть существуют два различных нулевых элемента и . Тогда, согласно аксиоме (1) пункт (в) из определения линейного пространства, будут справедливы равенства

и .

Откуда в силу коммутативности операции сложения получаем .

Теорема доказана.

Теорема 13.2Для каждого элемента x линейного пространства имеет место равенство .

Доказательство.

Из аксиоматики линейного пространства имеем

Прибавляя к обеим частям равенства элемент y, противоположный элементу x, получаем, что .

Теорема доказана.

Теорема 13.3Для каждого элемента линейного пространства существует единственный противоположный элемент.

Доказательство.

Пусть для элемента x существуют два различных противоположных элемента и . Тогда, согласно аксиоме (1) пункт (г) линейного пространства, будут справедливы равенства и . Прибавим к обеим частям первого равенства элемент , получим