Целевая функция 8 страница

Лекция 19

Оперативно – календарное планирование в технологических системах на основе теории расписаний

Элементы (основы) теории расписаний

Качество функционирования современного производства во многом определяется решениями, принимаемыми на этапах календарного планирования и оперативного управления. Особенно это актуально в связи с созданием современных автоматизированных производств – гибких производственных систем (ГПС). Системы оперативно – календарного планирования современных производств строятся в том числе и на достижениях так называемой «теории расписаний».

Теория расписаний – это наука, занимающаяся исследованиями детерминированных обслуживающих систем на предмет оптимизации расписаний их функционирования.

Примеры таких систем:

· цех, участок, на станках которых осуществляется обработка деталей;

· ВУЗ, где преподаватели обучают студентов и т.д.

В любом случае имеется конечное множество требований (деталей, преподавателей и т.д.) и конечное множество приборов(станков, групп студентов и т.д.) .

Предполагается, что i – е требование на каждой стадии его обслуживания q (например, на каждой операции технологического процесса) может быть обслужено любым из приборов (но не более, чем одним одновременно). Предполагается также, что каждый прибор одновременно может обслуживать не более одного требования.

В теории расписаний рассматриваются различные системы обслуживания:

· системы поточного типа, в которых каждое требование сначала обслуживается приборами первой группы , затем второй группы и т.д. пока не будет обслужено приборами последней r – ой группы;

· системы с различными порядками (маршрутами) прохождения приборов требованиямии т.д.

В частности, в последних системах с последовательными приборами для каждого требования задается своя, специфическая для этого требования последовательность его обслуживания приборами. Требование i сначала обслуживается прибором , затем и т.д. пока не будет обслужено прибором . Последовательности обслуживания могут быть различными для разных требований и могут содержать повторение приборов.

В любом случае, если требование i на стадии q должно или может быть обслужено прибором , то предполагается заданной длительность его обслуживания прибором. Запись , как привило, означает, что по условию задачи требование i на стадии q прибором L не обслуживается.

Наряду с величинами могут быть заданы также: момент поступления требования i в систему; директивный срок , к которому необходимо завершить обслуживание требования.

Процесс функционирования обслуживающей системы может быть описан путем задания расписания (календарного плана, временного графика и т.п.).

Расписание – некоторая совокупность указаний относительно того, какие именно требования какими именно приборами обслуживаются в каждый момент времени.

Расписание рассматривается как совокупность кусочно–постоянных непрерывных слева функций, каждая из которых задана на интервале и принимает значения 0, 1, …, n.

Если (здесь i – номер требования), то в момент времени прибор обслуживает требование . Если , то в момент времени прибор L простаивает.

При задании расписания должны соблюдаться все условия и ограничение, вытекающие из постановки рассматриваемой задачи, т.е. расписание должно быть допустимым.

Пример.На рис.19.1 приведен график расписания обслуживания требований приборами при различных маршрутах обслуживания требований. Все длительности обслуживания равны «1».¹

Рис.19.1. График расписания обслуживания требований N = {1, 2, 3, 4} приборами M = {1, 2, 3}

Здесь , т.е. первое требование обслуживается первым и вторым приборами, – второе требование обслуживается третьим и вторым приборами, – третье требование обслуживается вторым, первым, снова вторым и третьим приборами, - четвертое требование обслуживается вторым, третьим и первым приборами. – момент поступления требования 1 в систему, – моменты поступления требований 2 и 3 в систему, – момент поступления требования 4 в систему. – директивный срок завершения обслуживания требования 1, – директивный срок завершения обслуживания требования 2, – директивный срок завершения обслуживания требования 3, – директивный срок завершения обслуживания требования 4.

Прибор 1 во временном интервале обслуживает требование 1, в интервале - требование 3, в интервале - требование 4. Прибор 2 в интервале без простоев обслуживает требования 3, 2, 4, 1, 3 и т.д. Это расписание допустимо, т.е. каждый прибор одновременно обслуживает не более одного требования и i – е требование обслуживается одновременно не более, чем одним прибором.

Если существует несколько допустимых расписаний, то естественно необходимо выбрать лучшее из них. В теории расписаний качество расписанияво многих случаях оценивают следующим образом. Каждое (допустимое) расписание S однозначно определяет вектор моментов завершения обслуживания требований. Задается некоторая действительная неубывающая по каждой из переменных функция . Качество расписания S оценивается значением этой функции при . Из двух расписаний лучшим считается то, которому соответствует меньшее значение . Расписание, которому соответствует наименьшее значение (среди всех допустимых расписаний), называется оптимальным.

В частности, при построении оптимального по быстродействию расписания . В этом случае , где .

При построении расписания с наименьшим суммарным временем обслуживания , при этом .

При построении расписания с наименьшим временем смещения моментов завершения обслуживания требований i относительно сроков функция . При этом , где .

Оптимальное расписание может быть найдено в результате перебора конечного множества возможных вариантов. Основная трудность при этом состоит в том, что число таких вариантов очень велико и растет, по меньшей мере, экспоненциально с ростом размерности задачи. Известны так называемые эвристические алгоритмы формирования расписаний, алгоритмы на основе методов линейного и динамического программирования. Задачи составления расписаний для некоторых сложных систем обслуживания до сих пор не решены (NP – трудные задачи).

Формирование расписания работы оборудования методами линейного и динамического программирования

Эта методика разработана в лаборатории исследования операций Ленинградского (ныне Санкт-Петербургского) государственного университета под руководством профессора И.В.Романовского.

Исходные данные для решения задачи:

1. Количество рассматриваемых видов деталей M. Виды деталей нумеруются числами .

2. Количество групп однотипного оборудования I. Группы оборудования нумеруются числами .

3. Технологические маршруты (ТМ) обработки деталей. ТМ не содержат внешних операций, т.е. операций, которые выполняются на другом оборудовании.

Для каждого вида деталей m () задаются:

· количество операций в ТМ – , номера операций в ТМ обозначаются через ;

· продолжительность обработки одной детали на операции (при обработке деталей m), ;

· номер группы оборудования – , на котором выполняется операция .

4. План выпуска деталей различных видов – вектор .

5. Стоимость прол¨живания деталей вида в единицу времени.

Пусть отрезок планирования разбит на S частей, которые для простоты будем называть сутками и нумеровать числами . Для каждых суток должны быть заданы следующие величины:

6. Продолжительность суток .

7. Фонд времени групп оборудования i в сутки .

План выпуска деталей каждого вида разбивается на партии обработки. Обозначим число партий обработки P и введем для них единую нумерацию, не зависящую от вида деталей: . Будем считать известной функцию , которая по номеру партии дает номер вида детали (в частном случае, если запускается в обработку по одной партии каждого вида деталей, то и ).

Количество деталей в партии обработки p обозначим ; тогда должны иметь место равенства

(19.1)

т.е. сумма размеров всех партий для каждой детали равна плану ее выпуска.

Задача формулируется следующим образом: найти число партий обработки P, количество деталей в партиях обработки и расписания работы оборудования (обработки каждой партии), оптимальные с точки зрения некоторого критерия.

Задача допускает выбор используемого критерия в широких пределах. Ниже в качестве критерия будет использоваться стоимость пролеживания деталей.

Постановка задачи в терминах линейного программирования:обозначим , где S – количество суток, I – количество групп оборудования. Рассмотрим Q – мерный вектор F, который определяется следующим образом:

Первые компоненты вектора F есть фонды времени первой группы оборудования в сутки отрезка планирования, вторые – фонды времени второй группы оборудования в те же сутки и т.д., например, – фонд времени второй группы оборудования во вторые сутки.

Если записать вектор F как , то , когда , где [a] – целая часть числа a. Эти равенства позволяют по номеру группы оборудования i и номеру суток s определить номер q компоненты вектора и наоборот – по порядковому номеру q компоненты вектора соответствующие ему номера групп оборудования i и суток s у компоненты вектора .

Пример. S = 30 суток.

1) Нужно определить порядковый номер компоненты вектора для второй группы оборудования на третьи сутки его работы

.

2) Найти i, s, если q = 33.

.

Для каждой партии с номерами рассмотрим вектор , структура которого аналогична структуре вектора F: . Вектор – это элементарное расписание обработки партии p. Его компоненты определяются следующим образом.

Если операция j по обработке детали из партии p выполняются в сутки s на группе оборудования , то в компоненту вектора с порядковым номером , вычисленным по приведенным выше формулам для , заносят время обработки этой детали на операции j. Все остальные компоненты такие, что в сутки s на группе оборудования i не обрабатываются детали партии p, полагаются равными нулю.

Элементарные расписания являются расписанием обработки одной детали партии p. Расписание для всей партии p получим, умножив вектор элементарного расписания на число деталей в партии . Каждая компонента вектора расписания равна продолжительности обработки партии p на группе оборудования в сутки .

Общая продолжительность использования группы оборудования в сутки всеми партиями равна

Эта величина не должна превышать фонда времени группы оборудования в сутки

(19.2)

Вычислим стоимость C_p пролеживания одной детали партии p при ее обработке по элементарному расписанию . Время пролеживания одной детали партии p в сутки s здесь в этой методике определяется следующим образом. Если детали партии обрабатывались в сутки s, то считается, что , если не обрабатывались, то равно продолжительности суток . Допустим, что полная обработка деталей партии p по расписанию начинается в сутки s₁ и заканчивается в сутки s₂. Тогда время пролеживания одной детали партии p по расписанию можно определить как сумму времени пролеживания по всем суткам, на протяжении которых деталь находилась в обработке:

Стоимость прлеживания c_p одной детали партии p при ее обработке по расписанию

а стоимость пролеживания всех деталей партии p при ее обработке по расписанию будет равна . Таким образом, стоимость пролеживания всех партий равна

(19.3)

В результате приходим к следующей задаче линейного программирования: определить целочисленные неизвестные , минимизирующие стоимость пролеживания всех партий (19.3) при ограничениях (19.1) и (19.2). Количество ограничений равно .

Для решения задачи на ЭВМ симплекс – методом используют специальные алгоритмы. При этом задачу предварительно записывают в матричной форме (в данной лекции не рассматривается). Элементарные расписания формируются методами динамического программирования. Динамическое программирование – методы решения оптимизационных задач , в основе которых лежит идея разбиения исходной задачи на последовательный ряд более простых задач. Основная область приложения динамического программирования – многошаговые процессы, т.е. процессы, протекающие во времени (дискретном или непрерывном).