Целевая функция 4 страница

– коэффициент, учитывающий закон распределения i – ой погрешности () для разных законов распределения, например, для нормального закона распределения k = 1);

- i – я элементарная погрешность обработки.

Пример: расчет одной из составляющих погрешностей обработки, вызванной неточностью настройки инструмента на размер для станков с ЧПУ.

Современные приборы для настройки инструментов на размер имеют высокую разрешающую способность: цена деления координатных шкал 1мкм и оптическое увеличение проектора до 30раз. Однако, сколь бы высокой ни была точность исполнения прибора, инструмент всегда настраивается с некоторыми отклонениями. Они складываются из погрешностей самого прибора () и погрешностей установки на станке настроенного на размер инструмента ().

По правилам сложения случайных величин погрешность положения вершины настроенного на размер инструмента равна:

где k₁, k₂, k₃, k₄, k₅, k₆, k_7, k₈ – коэффициенты, учитывающие законы распределения погрешностей;

- погрешность шкал отчета прибора;

- погрешность отсчета размера по шкалам;

- неточность совмещения вершины инструмента с перекрестием экрана проектора;

- не совмещение начал отсчета шкал и устройства для крепления инструмента;

- погрешность от неточности углового расположения на приборе устройства для крепления инструмента;

- несовпадение нуля отсчета координат инструмента с теоретическим положением из – за неточностей расположения поверхностей, базирующих инструмент на станке;

- погрешность от неправильного углового расположения на станке базирующих поверхностей;

- погрешность в связи с деформациями элементов, участвующих в зажиме инструмента.

Пусть

Тогда

.

В технологических справочниках приведены среднестатистические данные по точности обработки детали на станках. Все они получены статистическими методами на основе обработки результатов экспериментов. Основной недостаток определения точности обработки по среднестатистическим данным состоит в том, что при этом невозможно учесть индивидуальные особенности конкретных станков. Станки даже одной модели отличаются друг от друга по точности из–за различного износа, разной точности сборки и т.д. В идеальном случае необходимо иметь данные по точности каждого станка, причем эти данные должны периодически обновляются. Т.е. нужны математические модели, представляющие точность обработки деталей на станках, реальные, учитывающие динамические процессы, протекающие в конкретной технологической системе СПИД.

Моделирование точности обработки деталей на основе динамических характеристик станков

Материалы этой части лекции взяты из работ к.т.н., доцента кафедры «Технология автоматизированного машиностроения» ИГЭУ Минеева А.С. и его дипломника Таланова П.В. Рассмотрим эти вопросы на примере исследования точности плоскошлифовального станка.

Сначала разрабатывается расчетная схема упругой системы станка, которая представляет собой многомассовую модель. Для этого станок разбивается на ряд узлов, каждый из которых представляет собой отдельную массу. Кроме этого какая-либо деталь станка принимается как деталь условно бесконечной массы, к которой «привязываются» все остальные массы. Расчетная схема упругой системы плоскошлифовального станка представляет собой четырехмассовую модель. В качестве детали условно бесконечной массы принята станина, к которой «привязаны» все остальные массы – см. рис. 12.1.

Рис.12.1. Расчетная схема упругой системы плоскошлифовального станка

На данном рисунке приняты следующие обозначения:

1. шпиндель;

2. шпиндельная бабка;

3. продольный стол;

4. поперечный стол;

5. станина;

М₁, М₂, М₃, М₄ – приведенные массы шпинделя, шпиндельной бабки, продольного стола, поперечного стола;

С₁, С₂, С₃, С₄ – жесткости;

Н_1, Н₂, Н₃, Н₄ – коэффициенты демпфирования;

- вектор радиальной составляющей силы резания;

V_З – скорость продольного перемещения заготовки.

Взаимодействие между отдельными массами описывается, как правило, двумя видами связей:

1. упругими связями, которые характеризуются жесткостью;

2. демпфирующими связями, которые характеризуются коэффициентами демпфирования.

Чтобы лучше понять характер взаимодействия масс, можно привести пример работы подвески автомобиля. В ней пружина осуществляет упругую связь, а амортизатор является демпфером.

Иногда, рассматривая взаимодействие масс, учитывают третью связь , которая называется инерционной, которая как и две предыдущие также зависит от массы узлов. Все три вида связей зависят и от величины перемещения узла, от его скорости и ускорения. Инерционные связи в данной модели мы рассматривать не будем.

Здесь исследуется механизм образования непрямолинейности, поэтому считают, что данная четырехмассовая упругая система имеет свободу перемещения вдоль оси Y. Следовательно, в качестве возбуждающей силы будет рассматриваться только радиальная составляющая сила резания. Т.к. смещение упругой системы необходимо рассматривать только вдоль оси Y, приведению выше на рис.12.1 расчетную схему нужно заменять эквивалентной схемой.

Динамическая модель эквивалентной упругой системы плоскошлифовального станка приведена на рис.12.2.

Рис.12.2. Динамическая модель эквивалентной упругой системы плоскошлифовального станка

На данном рисунке приняты следующие обозначения:

С_Y1, C_Y2, C_Y3, C_Y4 – жесткости в направлении оси Y;

H_Y1, H_Y2, H_Y3, H_Y4 – коэффициенты демпфирования в направлении оси Y.

Основой построения математической динамической модели является уравнение колебаний одномассовой упругой системы (рис.12.3).

Рис.12.3. Динамическая одномассовая модель

Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка:

На рис.12.3 и в данном уравнении приняты следующие обозначения: M – масса, H – коэффициент демпфирования, C – жесткость, – возбуждающая сила, действующая в данном направлении, t – время, x - перемещение, - скорость, - ускорение, - «обратная сила».

Смысл понятия «обратная сила» заключается в следующем – см. рис. 12.4 ( на нем буквой «З» обозначена заготовка).

Рис.12.4. Иллюстрация понятия «обратная сила»

Под действием силы F(t) возникает смещение x упругой системы станка и, как следствие, уменьшение глубины резания, отсюда сила F(t) уменьшается на величину U(t).

Итак, необходимо определить геометрическую сумму смещений эквивалентной упругой системы вдоль оси Y, которое определяет суммарное смещение оси вращения шпинделя от прямолинейного движения

Имея данные об упругих перемещениях несущей системы (шпинделя относительно детали) за n – е количество оборотов шпинделя можно определить величину непрямолинейности поверхности детали, получаемую после шлифования.

При шлифовании поверхностей на плоскошлифовальных станках образуется погрешность профиля плоской поверхности в продольном сечении (непрямолинейность), которая имеет следующую природу – см. рис. 12.5.

Рис.12.5. Механизм образования непрямолинейности шлифуемой поверхности

На рис.12.5: 1 – траектория упругих приведенных перемещений оси вращения шпинделя, 2 – профиль продольного сечения плоской поверхности.

Деталь рассматривается как неподвижная, а все упругие перемещения узлов станка приводятся к шпинделю. В системе координат шпинделя XшпO₁Yшп траектория перемещения торца шлифовального круга имеет форму идеальной окружности радиусом R, центр которой лежит на оси вращения шпинделя.

Однако, траектория перемещения оси шпинделя в координатах детали имеет форму сложной кривой 1. Это вызвано неравномерной жесткостью узлов, наличием упругих люфтов в стыках и т.д.

Таким образом, траектория движения торца шлифовального круга, полученная при его вращении, образуется при сложении двух движений:

1. Вращательного движения круга вокруг оси шпинделя.

2. Перемещения оси шпинделя по траектории 1 (смещение систем координат XшпO₁Yшп и XoOYo).

Поэтому траектория движения торца шлифовального круга будет отличаться от идеальной. И это, в свою очередь, определит образование непрямолинейности шлифуемой поверхности.

Шлифовальному кругу сообщается круговое движение Vк, детали - продольное движение Vз. В процессе резания возникает сила резания, составляющая P_Y которой вызовет деформацию замкнутой технологической системы станка на величину y₁, поэтому t_ф = t – y₁. Кроме этого на глубину шлифования оказывает влияние и перемещение заготовки вдоль оси X. Оно имеет скачкообразный характер. В момент выхода шлифовального круга из контакта с заготовкой упругая система станка «выбирает» деформацию технологической системы y₁. В момент врезания круга в заготовку глубина резания t_ф^’ = t. Все это вместе взятое определяет характер образования непрямолинейности шлифуемой поверхности.

Для реализации имитационного моделирования процесса шлифования был применен программно – методический комплекс МИК (моделирования и конструирования), разработанный в ИГЭУ. При его применении модель динамического процесса представляется в виде структурной модели. Затем с помощью специального языка вводятся параметры модели и осуществляется компьютерный эксперимент.

Таланов П.В. разработал программный комплекс PROGNOZ. Он позволяет удобно вводить и хранить исходные данные, осуществляет связь с МИКом, обрабатывает результаты компьютерного эксперимента. Этот комплекс позволяет прогнозировать точность обработки деталей на плоскошлифовальных станках, а также на станках фрезерно-сверлильно-расточной группы при растачивании отверстий (некруглость, нецилиндричность).

Лекция 13

Математическое моделирование управления производительностью, себестоимостью и точностью обработки деталей на металлорежущих станках

Моделирование связей производительности и точности операций металлообработки с изменением входных параметров. Идея адаптивного управления процессом обработки

Наибольшее влияние на величину поля рассеивания размеров детали оказывает изменение таких входных параметров процесса обработки как размеры припуска и твердость материала заготовки. Это обуславливает соответственное возрастание диапазона изменения усилий резания и вызываемых ими упругих отжатий, а, следовательно, и поля рассеивания размеров обработанных заготовок (деталей). Как известно, отжатие в упругой технологической системе рассчитывается по следующей формуле:

где - нормальная (радиальная) составляющая сила резания;

- жесткость технологической системы.

Погрешность обработки зависит от колебания отжатия вследствие изменения усилий резания или жесткости системы. Для достижения высокой точности обработки необходимо обеспечить постоянство величины , что возможно

1. при постоянстве составляющей силы резания (или в целом силы резания );

2. при постоянстве отношения .

Например, при обработке стали и чугуна, сила резания определяется по следующей формуле:

Иногда в формулу вводят скорость резания .

Сила резания зависит от твердости заготовки НВ, от глубины резания t, от постоянных , которые учитывают влияние на силу инструментального материала, геометрии инструмента, вида СОЖ и т.д. и от подачи s. Для того, чтобы управлять величиной силы, теоретически можно изменять все перечисленные выше параметры. Но практически изменять можно только подачу, т.к. изменить твердость обрабатываемого материала невозможно. Изменять глубину резания можно, но это повлечет за собой ухудшение точности обработки. Изменять по ходу обработки инструментальный материал, геометрию резца тоже практически невозможно. Поэтому единственным способом компенсации силы резания является изменение подачи, что в основном и используется в современных системах адаптивного управления в станках (иногда регулируют и скорость резания).

Пример: обрабатывался стальной валик диаметром d = 23мм и длиной l = 400мм. Обработка велась резцом с пластинкой из твердого сплава Т15К6 и углом в плане , глубина резания t = 1мм, число оборотов шпинделя n = 375 об/мин. Обработка велась по двум вариантам:

а) подача оставалась постоянной s = 0,3 мм/об ;

б) подача изменялась по длине обработки: при l = 50 и 100 мм s = 0,53 мм/об; при l = 150 мм s = 0,33 мм/об; при l = 200 мм s = 0,3 мм/об; при l = 250 мм s = 0,33 мм/об; при l = 300 мм s = 0,47 мм/об; при l = 350 мм s = 0,53 мм/об.

Были получены результаты, представленные на рис.13.1.

Рис.13.1. Результаты обработки валика

При изменении продольной подачи повысилась не только точность геометрической формы детали (колебание диаметра по длине детали уменьшилось с до ), но и увеличилась производительность обработки, т.к. средняя подача выросла с 0,3 до 0,43 мм/об (в 1,43 раза). Производительность по основному времени равна

где - основное время;

- число оборотов шпинделя;

- подача (на один оборот шпинделя);

- длина рабочего хода;

- число проходов.

Как видим, производительность по основному времени прямо пропорциональна подаче, следовательно, она также увеличилась в 1,43 раза.

Для регулирования подачи применяются специальные устройства. Ранее они назывались (для универсальных станков) системы автоматического регулирования. Сейчас их называют системами адаптивного управления (САУ).

Моделирование управления производительностью, себестоимостью и точностью обработки деталей на станках с ЧПУ

Процесс достижения требуемой точности при изготовлении деталей на станках (в том числе и на станках с ЧПУ) включает три этапа:

Этап 1. Этап установки;

Этап 2. Этап статистической настройки ;

Этап 3. Этап динамической настройки

На этапе установки происходит ориентация и закрепление заготовки на столе – спутнике или на столе станка, установка спутника на станке, автоматическая установка режущего инструмента. В результате формируется размер установки – A_У.

При статической настройке инструмент по программе выводится относительно технологических баз детали на размер A_С.

При динамической настройке в процессе резания в результате деформирования технологической системы СПИД формируется размер динамической настройки A_Д, т.е. размер между режущей кромкой инструмента и базой.

Т.е. у детали получается размер A = Aу + Aс + Aд. Мы рассмотрим вопросы моделирования управления точностью, производительностью и себестоимостью обработки на третьем этапе, т.е. в процессе обработки детали, т.к. именно размером А_Д управляют в САУ.

Состояние технологической системы во время выполнения процесса обработки заготовки характеризует комплекс значений:

- получаемая точность обработанной детали;

– потребляемая мощность;

– сила резания;

– крутящий момент;

– порождаемые нагрузками упругие перемещения;

– температурный режим системы;

- интенсивность изнашивания режущего инструмента;

- уровень вибраций;

– характер стружкообразования и т.д.

Эти параметры – переменные (внутренние параметры) состояния технологической системы. Они образуют вектор состояния системы

Возмущающие факторы (входные параметры):

- колебания силы резания;

- изменение твердости материала заготовки;

- переменная жесткость технологической системы;

- различная режущая способность инструмента и т.д.

Они образуют вектор

Воздействие на технологическую систему в процессе регулирования осуществляется через управляемые параметры:

- подачу;

- частоту вращения шпинделя ( - скорость резания) и т.д.

Эти параметры, являясь внутренними параметрами, здесь выступают в роли управляемых (управляющих) параметров. Они образуют вектор управления

На переменные (параметры) состояния и управления накладываются ограничения, например:

· требуемая точность обработки детали;

· допускаемые станком нагрузки (по силе, по мощности и т.д.).

Эти ограничения либо определяют область допустимых значений переменных, либо устанавливают дополнительные зависимости между переменными состояния и управления.

На стадии программирования (разработки управляющей программы для станка с ЧПУ) невозможно заранее и окончательно определить оптимальные режимы резания вследствие неполной определенности входных (возмущающих) параметров и т.д. Поэтому управлять подачей и скоростью резания необходимо непосредственно на станке. На станке с ЧПУ это осуществляется путем автоматической коррекции программы с целью изменения и на соответствующем переходе.

При создании САУ важным моментом является выбор источника информации, на основании которой осуществляется корректировка управляющей программы (). Прямое измерение размера динамической настройки , т.е. измерение отклонений между режущими кромками инструмента и базами, определяющими положение заготовки, представляет значительные трудности. Поэтому используют косвенные методы измерения . Они основаны на измерении упругих перемещений в отдельных стыках или в специально встроенных динамометрических устройствах. Их создание основано на выявлении зависимости между размером динамической настройки и составляющими силы резания :

где - коэффициенты, характеризующие степень влияния каждой из составляющих силы резания на .

измеряют с помощью динамометрических устройств.

Коэффициенты и определяются следующим образом. Проводят ряд экспериментов, в ходе которых изменяют в определенных пределом подачу и глубину. Для этих разных величин измеряют размер . Для получения функциональной зависимости осуществляют аппроксимацию экспериментальных данных методом наименьших квадратов (методом Гаусса):

При управлении процессом на этапе динамической настройки решается комплекс задач, связанных с управлением точностью обработки, с управлением режимами резания, обеспечивающими экстремум целевой функции (максимум производительности, минимум себестоимости операции). При этом используют системы предельного регулирования и системы оптимального управления.

Адаптивные системы предельного регулирования

Их сущность заключается в том, что с целью повышения эффективности обработки деталей на станках обеспечивается постоянство протекания технологического процесса относительно таких регулируемых величин, как, например, сила резания, потребляемая мощность, крутящий момент, параметры точности. В результате в процессе обработки непрерывно поддерживаются наибольшие предельные значения режимов резания (), при которых исключается возможность превышения заданных ограничений.

В системах предельного регулирования для управления процессом черновой и предварительной обработки, когда стремятся к максимальному использованию мощности оборудования, ограничения относятся главным образом к силовым параметрам нагрузки, действующей в технологической системе. Например, при обработке с постоянной мощностью резания закон изменения продольной подачи определяется выражением

где - мощность двигателя главного привода станка;

- коэффициент полезного действия главного привода станка;

- постоянная силы резания и показатели степени в выражении для составляющей силы резания .

Однако, когда при допустимой мощности резания одна из переменных состояния, например, сила или крутящий момент на шпинделе достигают предельного значения, происходит дополнительное изменение подачи, в результате чего исключается возможность превышения заданных ограничений.

В системах предельного регулирования, обеспечивающих управление процессом чистовой и получистовой обработки деталей, налагаемые ограничения, образующие систему неравенств, относятся непосредственно к параметрам, определяющим достижение требуемой точности детали. Например, требование к шероховатости обработанной поверхности для токарных станков (в том числе и с ЧПУ) определяется следующим выражением (см. лабораторные работы):

где - допустимая шероховатость обработанной поверхности.

Адаптивные системы оптимального управления

С целью повышения эффективности обработки деталей в этих системах поддерживается оптимальное протекание технологического процесса относительно заданной целевой функции.

Несмотря на случайный характер потока возмущающих воздействий, адаптивная система так управляет технологическим процессом, что целевая функция непрерывно поддерживается на максимальном или минимальном уровне в пределах установленных ограничений.

При условии обеспечения требуемой точности детали эффективность технологического процесса определяет себестоимость изготавливаемой детали и производительность обработки, зависящих от основного времени обработки.

Целевая функция времени, устанавливающая связь между параметрами режима резания и продолжительностью времени, затрачиваемого на операцию, имеет вид (для токарных станков с ЧПУ):