Відомості про операційне числення

Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними

Лекція 7 Елементи операційного числення

Ефективним способом розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними є використання операційних методів, зокрема, перетворення Лапласа. Природно сподіватися, що застосування цього методу для розв’язання таких рівнянь приведе до переведення однієї зі змінних у просторі оригіналів до параметра у просторі зображень.

Так, якщо в розглядуваному рівнянні невідомою є функція двох змінних, то застосування операційного методу до однієї зі змінних приведе до звичайного диференціального рівняння зображення відносно другої змінної. Щоб знайти зображення, отримане рівняння можна розв’язувати з використанням теорії диференційних рівнянь або знову застосувати перетворення Лапласа та одержати скінченне зображувальне рівняння щодо другого параметра. Далі застосовуємо обернене перетворення Лапласа один раз у першому випадку та двічі у другому і отримаємо в просторі оригіналів шукану функцію [5].

Означення 7.1 Оригіналом називається така функція дійсного аргумента , яка задовольняє наступні три умови:

1) – однозначна, неперервна або кусково-неперервна разом зі своїми похідними n-го порядку при ;

2) росте не швидше, ніж деяка показникова функція, тобто існують такі сталі додатні числа M і α₀, які не залежать від і при яких для всіх ;

3) при .

Означення 7.2 Зображенням функції-оригінала називається функція комплексної змінної , яка визначається інтегралом Лапласа:

. (7.1)

Інтеграл Лапласа (7.1) називають перетворенням Лапласа функції . Відповідність між зображенням і оригіналом будемо позначати так: , або .

Іноді використовують таке позначення: , де символ означає перетворення Лапласа.