Робота сил поля. Потенціал. Зв’язок потенціалу та напруженості.

Гравітаційне поле та його характеристики. зв’язок напруженості поля з його потенціалом:

І. Ньютон, вивчаючи рух небесних тіл, прийшов до висновку, що всі тіла притягуються одне до одного і величина цієї сили дорівнює:

,

де – гравітаційна стала, яка чисельно дорівнює силі взаємодії між тілами масами 1 кг на відстані 1 м; і – маси тіл, а – відстань між їх центрами. Взаємодія між тілами передається через гравітаційне поле. Обмеження закону гравітаційної взаємодії є < 10-15 м (розмір ядра атома).

Гравітаційне поле є видом існування матерії, через яку передається взаємодія між тілами. Гравітаційне поле існує у просторі і часі об’єктивно і може діяти на наші органи відчуття, проявлятись за дією на тіла (наприклад, покази терезів є результатом дії притягання тіл гравітаційним полем Землі).

Гравітаційне поле є силовим потенціальним полем. Для характеристики гравітаційного поля вводять два параметри: силову характеристику – напруженість поля та енергетичну характеристику поля – потенціал.

Розглянемо взаємодію тіла масою , яке утворює гравітаційне поле, та розміщену в ньому одиничну пробну масу (рис. 2.23). Згідно з законом всесвітнього тяжіння у векторній формі:

або:

.

Величина в правій частині останнього рівняння є однозначною характеристикою поля, оскільки вона не залежить від пробної маси , а визначається тільки масою та радіус-вектором точки її гравітаційного поля.

Тоді позначимо:

або:

.

Вектор є напруженістю гравітаційного поля, тобто силовою характеристикою, яка дорівнює відношенню сили, з якою поле діє на розміщену в даній точці одиничну пробну масу , до величини цієї маси.

Отримаємо одиницю вимірювання напруженості гравітаційного поля:

,

тобто ми отримали одиницю вимірювання прискорення.

Через те, що для Землі напруженість поля чисельно дорівнює прискоренню вільного падіння , то сила тяжіння, з якою Земля діє на розміщене в її полі тіло, дорівнює:

.

Розглянемо елементарну роботу з переміщення пробної одиничної маси у полі тяжіння тіла з масою з точки 1 в точку 2 (рис. 2.24).

.

Через те, що кут між та дорівнює 180о, то:

.

Повна робота:

;

.

Отже, затрачена робота в полі сил тяжіння не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки початковим та кінцевим положеннями тіла, тобто сили тяжіння є консервативними, а поле тяжіння є потенціальним.

Введемо позначення для потенціальної енергії тіла одиничної маси в гравітаційному полі тіла масою .

Поділимо вираз для потенціальної енергії на величину :

.

Отже, потенціал поля тяжіння є скалярною величиною, яка чисельно дорівнює потенціальній енергії тіла одиничної маси в даній точці поля або роботі з переміщення одиничної маси з даної точки поля у нескінченність.

Тоді робота в полі сил тяжіння:

.

Розглянемо зв’язок потенціалу та напруженості гравітаційного поля. Елементарна робота при малому переміщенні буде рівною (рис. 2.24):

, також .

З формули напруженості гравітаційного поля сила .

Тоді: ;

,

де знак “–“ показує, що вектор напруженості поля спрямований протилежно до зростання потенціалу .

Величина називається градієнтом потенціалу і показує зміну потенціалу на одиницю довжини. Тоді:

.

1. Робота сил електричного поля. Циркуляція вектора напруженості електричного поля.
   2. Потенціал поля точкового заряду і системи зарядів.
   3. Зв'язок між напруженістю і потенціалом електричного поля. Еквіпотенціальні поверхні.
   З'ясуємо, як можна знайти роботу електричних сил при переміщенні заряду q в однорідному електричному полі (Е = const). Нехай заряд q знаходиться в точці В однорідного електричного поля (рис.1).
   
   Рис.1. Робота сил електричного поля з переміщення заряду q із точки В в точку С не залежить від форми шляху.
   З механіки відомо, що робота дорівнює добутку сили на шлях і на косинус кута між ними. Тому робота електричних сил при переміщенні заряду q в точку С по прямій BnC виразиться таким чином:
   A _BnC = F • BC • cos α = qE • BC • cos α
   Так як BC • cos α = BD (див. рис. 1), то маємо
   A _BnC = qE • BD.
   Робота сил поля при переміщенні заряду q в точку С по шляху BDC дорівнює сумі робіт на відрізках BD та DC, тобто
   A _BDC = A _BD + A _DC = qE • BD + qE • DC • cos 90 º.
   Оскільки cos 90 º = 0, робота сил поля на ділянці DC дорівнює нулю. Тому
   A _BDC = qE • BD.
   Отже, коли переміщення заряду відбувається по лінії напруженості, а потім перпендикулярно до неї, то сили поля здійснюють роботу тільки при переміщенні заряду вздовж лінії напруженості поля.
   З'ясуємо тепер, чому буде дорівнює робота сил поля на криволінійній ділянці BmC. Розіб'ємо цю ділянку на малі відрізки, сто кожен з них можна прийняти за пряму лінію (див. рис. 1). За доведеним вище робота на кожному такому ділянці буде дорівнює роботі на відповідному відрізку лінії напруженості l _i. Тоді вся робота на шляху BmC буде дорівнює сумі робіт на відрізках l _1, l ₂ і т. д. Таким чином,
   A _BmC = qE • (l ₁ + l ₂ + ... + l _k).
   Оскільки сума в дужках дорівнює довжині BD, маємо
   A _BmC = qE • BD.
   Отже, ми довели, що в однорідному електричному полі робота електричних сил не залежить від форми шляху. Наприклад, при переміщенні заряду q між точками В і С ця робота в усіх випадках дорівнює qE • BD. Можна довести, що цей висновок справедливий і для неоднорідного поля. Отже, якщо розподіл а просторі електричних зарядів, що створюють електричне поле, не змінюється з часом, то сили поля є консервативними.
   Оскільки робота сил поля на ділянці BnC і BmC однакова (див. рис.2), то на замкнутому шляху робота сил поля дорівнює нулю. Дійсно, якщо на ділянці BmC робота сил поля позитивна, то на ділянці CnB вона негативна. Отже, робота сил електричного поля по замкнутому контуру завжди дорівнює нулю.
   

Рис. 2. Робота електричних сил на замкнутому шляху дорівнює нулю.
При дії тільки консервативної сили робота є єдиною мірою зміни енергії. Поле консервативної сили, тобто поле, в якому робота не залежить від форми шляху, називається потенційним. Прикладами потенційних полів є поле тяжіння і електричне поле.
Оскільки сили електричного поля консервативні, то робота сил цього поля при переміщенні заряду з точки В в С (див. рис. 2) може служити мірою зміни потенційної енергії заряду в електричному полі. Якщо позначити потенційну енергію заряду в точці В через П _В, а в точці С - через П _С, то
A _BC = П _В - П _С. (1)
У більш загальному випадку, якщо заряд переміщається в електричному полі з точки 1, де його потенційна енергія була П _1, в точку 2, де його енергія виявляється рівною П _2, робота сил поля
А _{1 2} = П ₁ - П ₂ = - (П ₂ - П ₁₎ = - ΔП _{2 1,}
Де ΔП _{1 лютого} = П _{2-П 1} являє собою приріст потенційної енергії заряду при його переміщенні з точки 1 в точку 2. Отже
А _{1 2} = - ΔП _{2 1.} (1а)
З формули (1а) видно, що А _{1 2} і ΔП _{1 лютому} завжди мають протилежні знаки.
Дійсно, якщо заряд q переміщається під дією сил поля (тобто робота сил поля А _{1 2} позитивна), то при цьому потенційна енергія заряду зменшується (т. е. П ₂ <П ₁ і прирощення потенційної енергії ΔП _{1 лютого} негативно ). Якщо ж заряд переміщається проти сил поля (А _{1 2} <0), то потенційна енергія заряду збільшується (ΔП _{2 січня>} 0).
З формули (1) видно, що за допомогою вимірювання роботи можна дізнатися лише зміна потенційної енергії заряду q між двома точками В і С, але немає способів, що дозволяють однозначно оцінити величину його потенційної енергії в будь-якій точці поля. Щоб усунути цю невизначеність, можна умовно прийняти за нуль потенційну енергію в будь-якій довільно обраній точці поля. Тоді й у всіх інших точках потенційна енергія буде визначена однозначно. Умовилися потенційну енергію заряду, що знаходиться в точці, нескінченно віддаленій від зарядженого тіла, що створює поле, вважати за нуль:
П _∞ = 0. (2)
Тоді для випадку переміщення заряду q З точки В в нескінченність отримаємо
А _{В ∞} = П _в - П _∞ = П _В. (2а)
Отже, за такої умови потенційна енергія заряду, що знаходиться в будь-якій точці поля, буде чисельно дорівнює роботі, яку здійснюють силами поля при переміщенні даного заряду з цієї точки в нескінченність. Таким чином, якщо поле створено позитивним зарядом, то потенційна енергія іншого позитивного заряду , що знаходиться в будь-якій точці цього поля, буде позитивною, а якщо поле створене негативним зарядом, то потенційна енергія позитивного заряду в цьому полі буде негативною. Для негативного заряду, поміщеного в електричне поле, буде все навпаки.
Коли поле створено відразу кількома зарядами, то потенційна енергія заряду q, поміщеного в яку-небудь точку У такого поля, дорівнює алгебраїчній сумі енергій, обумовлених полем (в точці В) кожного заряду окремо. Згадаймо, що напруженості електричних полів окремих зарядів в кожній точці простору теж складаються (геометрично). Таким чином, якщо в просторі одночасно існують поля декількох зарядів, то ці поля просто накладаються один на одного. Така властивість полів називається суперпозицією.
Відзначимо ще, що в електротехніці за нуль часто приймають потенційну енергію заряду, що знаходиться на Землі. У цьому випадку потенційна енергія заряду в будь-якій точці поля У чисельно дорівнює роботі, яку здійснюють силами поля при переміщенні цього заряду з точки В на поверхню Землі.
Було встановлено, що потенційна енергія електричного заряду залежить від його положення в електричному полі. Тому доцільно ввести енергетичнухарактеристику точок електричного поля.
Оскільки сила, що діє на заряд q в електричному полі, прямо пропорційна величині заряду q, то робота сил поля при переміщенні заряду також прямо пропорційна величині заряду q. Отже, і потенційна енергія заряду в довільній точці В електричного поля прямо пропорційна величині цього заряду:
П _В = φ _У q. (3)
Коефіцієнт пропорційності φ _В для кожної визначеної точки поля залишається постійним і може служити енергетичної характеристикою поля в цій точці.
Енергетична характеристика електричного поля в даній точці називається потенціалом поля в цій точці. Потенціал вимірюється потенційноюенергією одиничного позитивного заряду, що знаходиться в заданій точці поля:
φ _В = П _В / q. (3а)
Потенціал поля електричного поля чисельно дорівнює роботі, яку здійснюють силами поля при переміщенні одиничного позитивного заряду з цієї точки в нескінченність.

Рис. 3. У всіх точках, що знаходяться на однаковій відстані від точкового заряду, потенціал однаковий.
Потенціал поля в даній точці може бути розрахований теоретично. Він визначається величиною і розташуванням зарядів, що створюють поле, а також навколишнім середовищем. Зважаючи на складність таких розрахунків тут ми їх приводити не будемо. Запишемо лише формулу для потенціалу поля точкового заряду q, отриману в результаті такого розрахунку.
Якщо відстань від заряду q до точки 1, в якій обчислюється потенціал, позначити через r ₁ (рис. 3), то можна показати, що потенціал у цій точці
φ ₁ = q / 4πε _c r _1. (4)
Відзначимо, що з цієї ж формулою обчислюється потенціал поля, створеного зарядом q, який рівномірно розподілений по поверхні кулі, для всіх точок, що знаходяться поза кулі. У цьому випадку r ₁ позначає відстань від центру кулі до точки 1.
Слід звернути увагу на те, що потенціал поля позитивного заряду зменшується при видаленні від заряду, а потенціал поля негативного заряду - збільшується. Оскільки потенціал є величиною скалярної, то, коли поле створено багатьма зарядами, потенціал у будь-якій точці поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених у цій точці кожним зарядом окремо.
Роботу сил поля можна виразити за допомогою різниці потенціалів. Згадай, що робота при переміщенні заряду між точками 1 і 2 (див. рис. 3) визначається формулою (1а):
А _{1 2} = - ΔП _{1 лютого} = - (П ₂ - П _1).
Замінивши П його значенням з формули (3), отримаємо
А _{1 2} = - (φ ₂ q _Пр - φ ₁ q _Пр) = - q _Пр (φ ₂ - φ ₁₎ = - q _Пр Δφ.
Але це можна записати й так:
А _{1 2} = q _Пр (φ ₁ - φ _2).
Різниця потенціалів (φ ₁ - φ ₂₎ називають напругою між точками 1 і 2 і позначається U _{1 2.} Таким чином,
А _{1 2} = q _Пр U _{1 2.}
Опустивши індекси, отримаємо
А = qU. (5)
Отже, робота сил поля при переміщенні заряду q між двома точками поля прямо пропорційна напрузі між цими точками.
Виведемо з (5) одиницю напруги:
U = A / q; U = 1 Дж / ​​1Кл = кг • м ² / с ³ • А = ​​1 В (вольт).
У системі СІ за одиницю виміру напруги приймається вольт. Вольтою називається така напруга (різниця потенціалів) між двома точками поля, при якому, переміщаючи заряд в 1 Кл з однієї точки в іншу, поле здійснює роботу в 1 Дж. Відзначимо, що на практиці заряди завжди переміщаються між двома певними точками поля, тому частіше важливо знати напруга між окремими точками, а не їх потенціали.
З формули (4) видно, що у всіх точках поля, що знаходяться на відстані r ₁ від точкового заряду q (див. рис. 3), потенціал φ ₁ буде однаковий. Всі ці точки знаходяться на поверхні сфери, описаної радіусом r ₁ з точки, в якій знаходиться точковий заряд q.
Поверхня, всі точки якої мають однаковий потенціал, називається еквіпотенційної (від латинського «екві» - рівний). Розрізи таких поверхонь з потенціалами φ ₁ і φ ₂ на рис. 3 показані колами. Для еквіпотенційної поверхні справедливе співвідношення
φ = const. (6)
Виявляється, що лінії напруженості електричного поля завжди нормальні до еквіпотенціальними поверхнями. Це означає, що робота сил поля при переміщенні заряду по еквіпотенційної поверхні дорівнює нулю.
Оскільки робота сил поля при переміщенні заряду q визначається тільки різницею потенціалів між початком і кінцем шляху, то при переміщенні заряду q з одного еквіпотенційної поверхні на іншу (потенціали яких φ ₁ і φ ₂₎ ця робота не залежить від форми шляху і дорівнює А = q (φ ₁ - φ _2).
У подальшому слід пам'ятати, що під дією сил поля позитивні заряди завжди переміщуються від більшого потенціалу до меншого, а негативні - навпаки.