Малюнок № 22.
Малюнок № 21.
Для виведення третьої формули проведемо у паралелограмі АВСД діагоналі АС=d1, ВД=d2 і позначимо ÐАОВ=g. Тоді ÐАОД=180°-g. S(АВСД)=2S(DАВД)=2S(DВОА)+2S(DАОД)=21/2ВОАОsing+21/2АООДsin(180°-g)=АО(ВОsing+ОДsin(180°-g)). Оскільки sin(180°-g)=sing, то S(АВСД)=АО(ВО+ОД)sing=АОВДsing=1/2АСВДsing. Врахувавши, що ВД=d2 і АС=d1, матимемо: S(АВСД)= 1/2АСВДsing=1/2d1d2. Теорему доведено повністю.
Теорема 7: Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму основ або обчислюється за формулами: 1) S=1/2(a+b)h, де a і b – основи трапеції, h – висота трапеції; 2) S=mh, де m=1/2(а+b). – середня ліній трапеції, h – висота трапеції.
Доведення:
Проведемо у трапеції АВСД (див. мал. № 22) діагональ ВД і висоту ВК. Тоді S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=1/2АД×ВК+1/2ВС×ВК=1/2ВК×(АД+ВС)= ½(а+b)×h=m×h. Теорему доведено.
В а С
А К b Д
У практичній діяльності та в математиці доводиться досить часто знаходити не лише площі плоских фігур, але й площі поверхонь геометричних тіл. Нагадаємо, площею поверхні многогранника називають суму площ усіх його граней. Із шкільного курсу геометрії відомі наступні теореми та формули для їх знаходження:
1) площа бічної поверхні довільної призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу призми на її бічне ребро;
2) площа повної поверхні довільної призми дорівнює сумі її бічної поверхні та площ основ;
3) площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на довжину бічного ребра;
4) площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра її основи на довжину апофеми;
5) площа повної поверхні правильної піраміди дорівнює сумі площі її бічної поверхні та площі основи;
6) площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту, тобто Sб.ц.=2pRH;
7) площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі її бічної поверхні та площ його основ, тобто Sп.ц.=2pRH+2pR2=2pR(H+R);
8) площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини кола його основи на довжину твірної, тобто Sб.к.=pRl;
9) площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі його бічної поверхні та площі його основи, тобто Sп.к.=pRl+pR2=pR(l+R);
10) площа поверхні кулі дорівнює почетвереній площі її великого круга, тобто Sкулі=4pR2;