Теоремы Карно

Ясно, что в общем случае коэффициент полезного действия машины зависит от ее устройства, процессов, образующих цикл и свойств рабочего тела. В 1824 г. французский инженер Сади Карно впервые рассмотрел цикл, имеющий и сейчас огромное теоретическое значение. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (рис. 5.2.1).

Рабочее тело может приводиться в контакт с двумя тепловыми резервуарами, один их которых – нагреватель с температурой t₁, другой – холодильник с температурой t₂ (температуры измерены по любой эмпирической шкале). Все процессы являются квазиравновесными. Рассмотрим происходящие в цикле процессы более подробно. В состоянии 1 рабочее тело приводится в контакт с нагревателем, имея равную ему температуру. Изотермический переход 1-2 происходит при контакте рабочего тела с нагревателем. При этом рабочему телу сообщается количество теплоты Q₁, и рабочее тело совершает положительную работу . В состоянии 2 рабочее тело адиабатически изолируется, в процессе 2-3 совершается положительная работа , а температура рабочего тела адиабатно понижается до температуры холодильника. Затем тело приводится в контакт с холодильником, объем изотермически уменьшается (переход 3-4), рабочее тело отдает холодильнику количество теплоты Q₂ и совершает работу . На последнем участке 4-1 происходит адиабатное нагревание до температуры нагревателя при совершении работы над газом . Далее цикл многократно повторяется.

Прежде чем доказывать теоремы Карно установим условия, при которых возможно изменение направления прохождения цикла. Процесс, который может быть проведен в обратном направлении через те же промежуточные состояния, что и в прямом направлении, без изменений в других телах, называют обратимым, в противном случае процесс является необратимым. Обратимый процесс должен быть квазиравновесным.

Теперь собраны все сведения для доказательства теорем Карно. Согласно первой теореме Карно, коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур нагревателя и холодильника и не зависит от устройства машины и свойств рабочего тела.

Проведем доказательство от противного. Рассмотрим две тепловые машины, работающие по циклу Карно с различными рабочими телами. Пусть эти машины имеют общие нагреватель и холодильник. Пусть . Сначала машины работают как тепловые и выбраны такие количества циклов, за которые совершаемые машинами работы одинаковы. (Схема, иллюстрирующая доказательство первой теоремы Карно приведена на рис. 5.2.2).

Из определения коэффициента полезного действия тепловой машины (5.1.3) и предположения о соотношении между кпд рассматриваемых машин следует, что

. (5.2.1)

Так как процессы, составляющие цикл Карно, обратимы и квазиравновесны, цикл может проходиться как в прямом, так и в обратном направлении.

Пусть первая машина работает по прямому циклу, а вторая – по обратному, как холодильная машина, причем используется работа, произведенная первой машиной. Так как работы равны, то

(5.2.2)

или

. (5.2.3)

Из (5.2.1) следует, что левая часть выражения (5.2.3) больше нуля. Это означает, что нагреватель получил теплоту, и никаких других изменений не произошло, так как суммарная работа равна нулю. Такой процесс противоречит второму началу термодинамики в формулировке Клаузиуса. Наше предположение о неравенстве кпд машин, работающих по циклу Карно, привело к противоречию, следовательно, наше предположение неверно, а кпд цикла Карно не зависит от рабочего тела и конструктивных особенностей машины, т.е. первая теорема Карно доказана.

Согласно второй теореме Карно, коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, больше коэффициента полезного действия машины, работающей по необратимому циклу при тех же температурах нагревателя и холодильника. Доказательство проведем от противного, как и доказательство первой теоремы. Предположим, что . Выберем такое количество циклов, при которых работы машины Карно и необратимой машины равны между собой. Когда обе они работают как тепловые машины

. (5.2.4)

Схема, иллюстрирующая доказательство второй теоремы Карно, приведена на рис. 5.2.3. Включим машину Карно как холодильную (это позволяет сделать обратимость процессов цикла Карно). При этом

(5.2.5)

Левая часть соотношения больше нуля в силу исходного предположения о соотношении кпд рассматриваемых машин. Опять получен процесс, противоречащий второму началу в формулировке Клаузиуса, при котором более нагретое тело получает тепло и других изменений в окружающих телах не происходит. Следовательно, наше предположение не верно, и кпд цикла Карно является максимальным кпд при данных температурных резервуарах.

Карно получил свои теоремы, исходя из представлений о теплороде. Их современная трактовка была дана позднее.