Анализ чувствительности
Пример
Предприятие по производству смеси для отделки помещений выпускает две марки продукции (А и В).
Цена А – 60 д.е./кг
В – 50 д.е./кг
Найти оптимальные годовые объемы производства обеих марок, чтобы выручка от реализации была Max.
Х тонн/год – оптимальный объем производства А
У тонн/год – В, тогда выручка 60х+50у→max
Производительность оборудования 300 тонн/год. Тогда х+у≤300
Сырье:
Для А: 70% 1-го сорта, 30% - второго
В: 20% 1-го, 80 % второго
1 сорт 38 д.е./кг
2 – 24 д.е/кг. Тогда Сб 1 кг смеси: А=0,7*38+0,3*24=33,8 д.е
В=0,2*38+0,8*24=26,8 д.е
Финансовые ресурсы фабрики: на закупку сырья не более 9000 тыс.д.е./год
Ограничение финансового порядка 33,8х+26,8у≤9000
Полная формулировка задачи линейного программирования в данном случаебудетследующей:
60х + 50у → max
x + y ≤ 300
33.8x + 26.8 y ≤ 9000
x ≥ 0
y ≥ 0
Для решения этой задачи найдем область возможных значений х и у графическим способом (рис. слайд).
Прямая 1 соответствует производственному ограничению, прямая 2 – финансовому; ограничения x ≥ 0 и y ≥ 0 соответствуют сами оси х и у. Таким образом, удовлетворяющие всем ограничениям значения (х и у) лежат в заштрихованной области. Требуется найти такое значение К, которое позволило бы максимизировать целевую функцию на заштрихованной области. Для этого рассмотрим множество функций вида:
60 х + 50 у = Кi ↔ y = Ki - 1,2x
Три из этих функций приведены на рисунке пунктирными линиями. Чем дальше по направлению стрелок от центра координат находится прямая, тем большему значению Кi она соответствует. Очевидно, что на заштрихованной области функция 60х+50у примет максимальное значение в точке пересечения прямых 1 и 2. следовательно, координаты этой точки будут искомым оптимальным решением, максимизирующим целевую функцию.
Найденное алгебраическим методом решение этой системы уравнений будет:
У=300-х х = 137 т
У=335,8-1,26х у = 163 т
Помимо задачи оптимизации выпуска, с помощью метода линейного программирования решаются транспортные задачи.
Транспортная задача является наиболее известной из всех задач линейного программирования. В общем виде она заключается в следующем: имеется m поставщиков и n потребителей. Если возможности поставщиков ai (i=1, …, m); количество продукции, необходимой потребителям bj (j=1, …, n), размеры поставок от поставщика i к потребителю j - Xij; затраты на перевозку единицы продукции из пункта i в пункт j - Cij, то транспортная задача линейного программирования представляется следующим образом:
(целевая функция)
(1)
(2)
(2) Сij, Xij ≥ 0 (условие неотрицательности)
Первое ограничение означает, что общее количество продукции, необходимой всем потребителям, должно соответствовать общему ее количеству, находящемуся у поставщиков (так называемая закрытая транспортная задача). Второе и третье ограничения задача требуют, чтобы вся продукция каждого поставщика была распределена и заявки всех потребителей были полностью удовлетворены.
В рассмотренных примерах полагалось, что зависимости между факторами линейные и характер их не меняется со временем. Это не всегда так бывает, поэтому в теории принятия решений используются также методы нелинейного, динамического, стохастического, выпуклого программирования, которые гораздо более сложны и применяются в анализе деятельности отдельных предприятий крайне редко.
Анализ чувствительности является одним из простейших и наиболее распространенных методов анализа риска. С его помощью можно выяснить, какие именно факторы (оцениваемые параметры) можно отнести к наиболее рискованным.
Как показатель чувствительности объекта риска относительно изменения определенных факторов используются эластичность или чувствительность реагирования. Эластичность - мера реагирования одной переменной величины (функции) на смену другой (аргумента), а коэффициент эластичности - это число, которое показывает процентное изменение функции в результате процентного изменения аргумента.
Коэффициент эластичности (чувствительности) объекта риска относительно переменной хі, і=1,....,n, определяют по формуле:
Метод анализа чувствительности на сегодняшний день чаще всего используется для анализа инвестиционных проектов - определение степени устойчивости проекта к влиянию внешней или внутренней среды.
В теории инвестиций такое влияние выражается через коэффициент дисконтирования. Эта задача сводится к тому, чтобы определить каким образом изменится значение NPV проекта при увеличении ставки дисконта, который выражает состояние макросреды.
Модель NPV в общем виде имеет следующий вид:
где: Bt - величина дохода в t-м периоде от реализации инвестиционного проекта; Ct - величина расходов в t-м периоде на реализацию инвестиционного проекта; It - сумма инвестиций в t-м периоде; d - ставка дисконта; t - значение определенного периода реализации инвестиционного проекта.
Эластичность NPV по коэффициенту дисконта, — относительное изменение NPV при изменении дисконта на 1 %.
Для измерения процентного изменения величины спроса используется формула средней точки Алена:
,
где NPV0,1 – NPV в базисном и отчетном периодах соответственно; d0,1 – коэффициент дисконта в базисом и отчетном периодах соответственно.
7. методы финансовых вычислений
1) Операции наращения и дисконтирования
логика построения основных алгоритмов:
- однократное предоставление в долг некоторой суммы – PV
- через время t будет возвращена бóльшая сумма FV.
Результативность сделки может быть охарактеризована с помощью:
1) абсолютного показателя – (FV – PV) J (чаще всего не подходит для оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временнóм аспекте;
2) относительного показателя – ставки:
- «процентная ставка», «процент», «рост», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность»
либо 
- «учетная ставка», «дисконтная ставка», «дисконт».
Обе ставки взаимосвязаны:
выражаются либо в долях единицы, либо в %.
rt > dt
∆ rt = 8% Þ 
расхождение незначительно
rt = 80% Þ 
ставки существенно различаются.
В прогнозных расчетах (∆, при оценке инвестиционных проектов), как правило, имеют дело с процентной ставкой потому что:
1) анализ инвестиционных проектов может выполняться лишь в относительно стабильной экономике, когда уровни процентных ставок невелики и сравнительно предсказуемы. Если вероятны значительные колебания процентных ставок, должны применяться другие методы анализа;
2) прогнозные расчеты не требуют повышенной точности, поскольку результатами таких расчетов являются ориентиры, а не точные оценки.
Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (%-я или учетная) называется процессом наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка, называется процессом дисконтирования.
| НАСТОЯЩЕЕ |
Наращение
| БУДУЩЕЕ |
| Исходная сумма Ставка | Возвращаемая сумма | |
| Приведенная сумма |  Дисконтирование
| Сумма Ставка |
Рис. Логика финансовых операций
2) Процентные ставки и методы их начисления
Схемы начислений процентов многообразны ввиду вариабельности условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и погашения ссуд.
а) простой и сложный процент
известны две основные схемы начисления:
· схема простых процентов (неизменность базы начисления);
Р – инвестируемый капитал
r – доходность (в долях ед.)
Rn – размер капитала через n лет:
Rn = P + P*r + P*r +…+P*r = P * (1+n*r)
· схема сложных процентов (возрастание базы начисления за счет ранее начисленных процентов):
1-й год: F1 = P + P*r = P*(1+r)
2-й год: F2 = F1 + F1*r = F1*(1+r) = P*(1+r)2
…
n-й год: Fn = P*(1+r)n
Очевидно, что при n=1 множители (1+n*r) и (1+r)n равны (1+r)
Графически эту взаимосвязь Rn и Fn
Fn Rn
1 n
Рис. Простая и сложная схемы наращения капитала
Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов лица, предоставляющего кредит:
· более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее 1 года (%-ы начисляются однократно в конце периода;
· более выгодной является схема сложных %-ов, если срок ссуды более 1 год (%-ы начисляются ежегодно);
· обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.
Области применения схемы простых и сложных процентов
1) краткосрочные ссуды, предоставляемые на срок до одного года с однократным начислением процентов.
Для кредитора более выгода схема простых процентов. В расчетах используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой ставки, пропорциональной доле временнóго интервала в году.
F = P * (1 + f * r)= P * (1 +t/T * r)
r – годовая %-я ставка, доли ед.;
f – относительная длина периода до погашения ссуды;
t – продолжительность финансовой операции в днях;
T – количество дней в году.
Формулу можно записать следующим образом:
F = P * (1 + t * r / T)
Принято день выдачи и день погашения ссуды считать за 1 день. Возможны два варианта установления промежуточной процентной ставки:
· точный процент, исходя из точного числа дней в году (365 или 366), квартале (89-92), месяце (28-31);
· обыкновенный процент, исходя из приближенного числа дней в периоде (360, 90, 30).
В случае использования точного процента, берется точная величина продолжительности финансовой операции; при обыкновенном проценте может применяться как точное, так и приближенное число дней ссуды. Таким образом, расчет может выполняться одним из трех способов:
· обыкновенный % с точным числом дней (применяется в Бельгии, Франции);
· обыкновенный % с приближенным числом дней (Германия, Дания, Швеция);
· точный % с точным числом дней (Великобритания, США).
Использование обыкновенных %-ов с точным числом дней ссуды, как правило дает больший результат, чем применение обыкновенных %-ов с приближенным числом дней ссуды.
2) операция по учету векселей в банке
В этом случае пользуются дисконтной ставкой. Векселя могут оформляться по-разному, однако чаще банке приходится иметь дело с суммой к погашению, т.е. с величиной FV.
Схема действий:
Владелец векселя на сумму FV предъявляет его банку, который соглашается учесть его, т.е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы. В этом случае банк предлагает владельцу сумму PV, исчисляемой исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (d). Чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу.
PV = FV * ( 1 – f * d) (*)
PV = FV * ( 1 – t / T * d)
f – относительная длина периода до погашения ссуды. (операция имеет смысл, когда число в скобках неотрицательно).
Более глубокий факторный анализ
Дело в том, что доход банка при учете векселя складывается из двух частей - %-ов по векселю, причитающихся за время, оставшееся до момента погашения векселя, и комиссионных за предоставленную услугу. Теоретическая дисконтная ставка меньше процентной. Однако на практике, устанавливая дисконтную ставку, банк, как правило, повышает ее в зависимости от условий, на которые банк считает целесообразным получить за оказанную услугу, и т.п. Поскольку величина %-ов по векселю за период с момента учета до момента погашения предопределена, банк может варьировать лишь размером комиссионных путем изменения учетной ставки.
Логика факторного анализа:
FV
∆p
P1 ∆0
∆c
P2
PV
Момент оформ- Момент Момент
ления векселя учета векселя погашения векселя
Рис. Схема дохода банка при учете векселя
PV – стоимость векселя в момент его оформления;
P1 - теоретическая стоимость векселя в момент учета;
P2 – предлагаемая банком сумма в обмен на вексель;
FV – стоимость векселя к погашению;
∆0 – общий доход банка от операции.
Скорость наращения стоимость векселя, т.е. крутизна наклона прямой PVFV, зависит от уровня процентной ставки r, согласованной между векселедателем и векселедержателем. По мере приближения срока погашения векселя его теоретическая стоимость постоянно возрастает
В момент учета векселя владелец мог бы рассчитывать на сумму Р1. Предлагаемая банком сумма Р2 (формула (*)) меньше теоретической стоимости векселя. ∆с – сумма комиссионных банка. Помимо комиссионных банк получает проценты за период с момента учета до момента погашения ∆с. Реальные потери векселедержателя составляют величину ∆с, а не сумму FV-P2, поскольку с момента учета кредитором становится банк, ему и передаются проценты за оставшийся период.
3) внутригодовые процентные начисления
расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки, по формуле:
Fn = P * (1 + r/m)n*m
r – объявленная годовая ставка;
m – количество начислений в году;
n - количество лет.
∆ Вложены деньги в банк в сумме 5 тыс.руб. на два года с полугодовым начислением процентов под 10% годовых. В этом случае начисление процентов производится четыре раза по ставке 5% (10% : 2), а схема возрастания капитала будет иметь вид:
| Период | Сумма, с которой идет начисление | Ставка (доли ед.) | Сумма к концу периода |
| 6 месяцев | 5,0 | 1,05 | 5,25 |
| 12 месяцев | 5,25 | 1,05 | 5,51 |
| 18 месяцев | 5,51 | 1,05 | 5,78 |
| 24 месяца | 5,78 | 1,05 | 6,07 |
По формуле: m=2, n=2
Fn = 5 * (1 + 10% : 2 : 100%)4 = 6,07 тыс.руб
∆ проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться ежеквартально.
Начисление будет производиться 8 раз по ставке 2,5% (10% : 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит:
Fn = 5 * (1 +0,025)8=6,09 тыс. руб.
Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:
· при начислении процентов: 12% годовых неэквивалентно 1% в месяц:
· чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма;
· ежеквартальное начисление приносит больший результат, чем ежегодное.
Для простых процентов такие выводы недействительны.
· наращенная сумма не изменяется с увеличением частоты начислений простых процентов (ежегодное наращение по ставке 10% годовых дает тот же результат, что и ежеквартальное начисление простыми процентами по ставке 2,5% за квартал.
4) начисление процентов за дробное число лет
методы:
☻ по схеме сложных процентов:
Fn = P * (1 + r)w+f
☻ по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого число лет и схема простых процентов – для дробной части года):
Fn = P * (1 + r)w * (1 + f * r)
w – целое число лет;
f – дробная часть года.
∆ банк предоставил ссуду в размере 10 тыс.руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку?
По формуле сложных процентов:
Fn = 10*(1+0.2)2+0.5=19.269 тыс.руб.
Fn = 10*(1+0.2)2 * (1+0,3*0,5)=19.435 тыс.руб.
Таким образом, смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.
5) непрерывное начисление процентов
Все рассмотренные ранее начисляемые проценты называются дискретными, поскольку их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день, даже час). Уменьшая этот промежуток и увеличивая частоту начисления процентов, в пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам.
Из формулы внутригодовых процентных начислений 3) следует:
e – трансцендентное число е≈2,718281 называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.
Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение непрерывной ставки – δ и называют ее силой роста. Таким образом, формула для нахождения наращенной суммы за n лет при непрерывном начислении процентов принимает вид:
Fn = P * e δ * n
e δ * n – множитель наращения, при чем этой формулой пользуются и в случаях, когда n не является целым числом.
n=1 год
Р=1000 руб.
r=10%
Fn=1000*2,7182810,1*1 = 1105,17 руб.
6) эффективная годовая процентная ставка
в договорах, как правило оговаривается номинальная %-я ставка (годовая):
- не отражает реальной эффективности сделки:
- не может быть использована для сопоставлений.
| Для обеспечения сравнительного анализа эффективности договоров используют эффективную %-ю ставку re, обеспечивающую переход от Р до Fn при заданных значениях этих показателей и однократном начислении %-ов. |
Суть задачи:
- исходная сумма Р;
- годовая %-я ставка r;
- число начислений сложных %-ов m;
- наращенная величина сумм F1.
Определить такую годовую ставку re, которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении %-ов, т.е. m=1.
{P, F1, r, m>1} и {P, F1, r, m=1} должны быть равносильными.
Из формулы внутригодовых процентных начислений Fn = P * (1 + r/m)n*m следует,чтов рамках одного года:
из определения эффективной годовой %-ой ставки следует:
Þ 
следовательно re:
- зависит от количества внутригодовых начислений m;
- с ростом m она увеличивается;
- для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку;
- r и re совпадают при m=1;
- re является критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлениях.
∆ Какой вариант предпочтительней для заемщика:
ежемесячное начисление процентов при 18% годовых или полугодового начисления %-ов при 19% годовых?
re=(1+0,18/12)12-1=0,1956 или 19,56%
re=(1+0,19/2)2-1=0,199 или 19,9%
Таким образом, первый вариант более предпочтителен для заемщика.
14% годовых при ежемесячных начислениях или 16% годовых при полугодовом начислении?
Пример зависимости эффективной процентной ставки re от частоты начислений %-ов.
Номинальная ставка = 10%
| m | ∞ | |||||
| re | 0,1 | 0,1025 | 0,10381 | 0,10471 | 0,10516 | 0,10517 |
Математически можно показать, что при m >1 справедливо неравенство re > r.
Формула определения номинальной ставки, если в договоре указаны эффективная годовая %-я ставка re и число начислений сложных %-ов m:
∆ Определить номинальную ставку, если эффективная ставка re=18%, сложные %-ы начисляются ежемесячно.
, т.е. r=16,67%
Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 18% годовых дает тот же результат, что и ежемесячное начисление сложных %-ов по ставке 16,67%.