Коэффициенты ранговой корреляции Кендалла и Спирмена.

Представление и предварительная обработка оценок экспертов

В практике используется несколько видов оценок:

— качественные (часто-редко, хуже-лучше, да-нет),

— шкальные оценки (интервалы значений 50—75, 76—90, 91—120 и т.п.),

коэффициенты ассоциации, с помощью которых учитывается число совпадающих и несовпадающих ответов,

коэффициенты противоречивости мнений экспертов,

Все эти меры можно использовать либо для сравнения мнений двух экспертов, либо для анализа связи между рядами оценок по двум признакам.

Коэффициент парной ранговой корреляции Спирмена:

где n – число экспертов,

c_k – разность оценок i-го и j-го экспертов по всем T факторам

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла (коэффициент конкордации) дает общую оценку согласованности мнений всех экспертов по всем факторам, но только для случаев, когда использовались ранговые оценки.

Доказано, что величина S, когда все эксперты дают одинаковые оценки всех факторов, имеет максимальное значение, равное

где n – число факторов,

m – количество экспертов.

Коэффициент конкордации равен отношению

W= S / S_max, ,

причем если W близок к 1, то все эксперты дали достаточно согласованные оценки, иначе их мнения не согласованы.

Формула для расчета S приведена ниже:

где r_ij - ранговые оценки i-го фактора j-ым экспертом,

r_ср — средний ранг по всей матрице оценок и равен

И следовательно формула расчета S может принять вид:

, (*)

В случае, если отдельные оценки у одного эксперта совпадают, и их при обработке сделали стандартизированными, то для вычисления коэффициента конкордации используется другая формула:

(**)

где Т_j рассчитывается для каждого эксперта (в том случае, если его оценки повторялись для разных объектов) с учетом повторений по следующим правилам:

где t_j — число групп равных рангов у j-го эксперта, а

h_k — число равных рангов в k-ой группе связанных рангов j-го эксперта.

ПРИМЕР. Пусть 5 экспертов по шести факторам ответили при ранжировании так, как показано в таблице 3:

Таблица 3 – Ответы экспертов

В связи с тем, что получено не строгое ранжирование (оценки у экспертов повторяются, а суммы рангов не равны), произведем преобразование оценок и получим связанные ранги (таблица 4):

Таблица 4 – Связанные ранги оценок экспертов

Теперь определим степень согласованности мнений экспертов с помощью коэффициента конкордации. Так как ранги связанные, будем вычислять W по формуле (**).

Тогда r_ср=7*5/2=17,5

S = 10²+8²+4.5²+4.5²+6²+12² = 384.5

Перейдем к расчетам W. Для этого вычислим отдельно значения T_j. В примере специально так подобраны оценки, что у каждого эксперта есть повторяющиеся оценки: у 1-го их две, у второго — три, у третьего — две группы по две оценки, так же и у четвертого, у пятого — две одинаковые оценки. Отсюда:

Т₁ = 2³ – 2 = 6 Т₅ = 6

Т₂ = 3³ – 3 = 24

Т₃ = 2³ –2+ 2³ –2 = 12 Т₄ = 12

Мы видим, что согласованность мнений экспертов достаточно высокая и можно переходить к следующему этапу исследования – обоснованию и принятию рекомендованной экспертами альтернативы решения.

В противном случае необходимо вернуться к этапам 4-8.