Многозначные зависимости. Теорема Фейджина. Четвертая нормальная форма

Заметим, что последний вариант переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН находится в BCNF, поскольку все атрибуты заголовка отношения входят в состав единственного возможного ключа. В этом отношении вообще отсутствуют нетривиальные FD. Поэтому ранее обсуждавшиеся принципы нормализации здесь неприменимы, но, тем не менее, мы получили полезную декомпозицию. Все дело в том, что в случае четвертого варианта отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН мы имеем дело с новым видом зависимости, впервые обнаруженном Роном Фейджином в 1971 г. Фейджин назвал зависимости этого вида многозначными (multi-valued dependency – MVD). Как мы увидим немного позже, MVD является обобщением понятия FD.

В отношении СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН выполняются две MVD: СЛУ_НОМ®® ПРО_НОМи СЛУ_НОМ®®СЛУ_ЗАДАН. Первая MVD означает, что каждому значению атрибута СЛУ_НОМсоответствует определяемое только этим значением множество значений атрибута ПРО_НОМ. Другими словами, в результате вычисления алгебраического выражения

(СЛУЖ_ПРО_НОМWHERE (СЛУ_НОМ= сн AND СЛУ_ЗАДАН= сз))
PROJECT {ПРО_НОМ}

для фиксированного допустимого значения сн и любого допустимого значения сз мы всегда получим одно и то же множество значений атрибута ПРО_НОМ. Аналогично трактуется вторая MVD.

Определение 8.1. Многозначная зависимость

В переменной отношения r с атрибутами A, B, C (в общем случае, составными) имеется многозначная зависимость B от A (A ®® B) в том и только в том случае, когда множество значений атрибута B, соответствующее паре значений атрибутов A и C, зависит от значения A и не зависит от значения C. Конец определения.

Многозначные зависимости обладают интересным свойством “двойственности”, которое демонстрирует следующая лемма.

Лемма Фейджина

В отношении r {A, B, C} выполняется MVD A ®® B в том и только в том случае, когда выполняется MVD A ®® C.

Доказательство достаточности условия леммы. Пусть выполняется MVD A ®® B. Пусть имеется некоторое удовлетворяющее этой зависимости значение V_r переменной отношения r, a обозначает значение атрибута A в некотором кортеже тела V_r, а {b} – множество значений атрибута B, взятых из всех кортежей тела V_r, в которых значением атрибута A является a. Предположим, что для этого значения a MVD A ®® C не выполняется. Это означает, что существуют такое допустимое значение c атрибута C и такое значение b Î {b}, что кортеж <a, b, c> Ï V_r. Но это противоречит наличию MVD A ®® B. Следовательно, если выполняется MVD A ®® B, то выполняется и MVD A ®® C. Аналогично можно доказать необходимость условия леммы.

Таким образом, MVD A ®® B и A ®® C всегда составляют пару. Поэтому обычно их представляют вместе в форме A ®® B | C.

FD является частным случаем MVD, когда множество значений зависимого атрибута обязательно состоит из одного элемента. Таким образом, если выполняется FD A ® B, то выполняется и MVD A ®® B. *

Легко видеть, что отношения СЛУЖ_ПРО_НОМи СЛУЖ_ЗАДАНИЕне содержат MVD, отличных от FD, и именно в этом выигрывает декомпозиция с рис. 6.2. Правомочность этой декомпозиции доказывается приводимой ниже теоремой Фейджина, которая является уточнением и обобщением теоремы Хита.

Теорема Фейджина

Пусть имеется переменная отношения r с атрибутами A, B, C (в общем случае, составными). Отношение r декомпозируется без потерь на проекции {A, B} и {A, C} тогда и только тогда, когда для него выполняется MVD A ®® B | C.

Докажем достаточность условия теоремы. Пусть V_r является некоторым допустимым значением переменной отношений r. Пусть a обозначает значение атрибута A в некотором кортеже тела V_r, {b} – множество значений атрибута B, взятых из всех кортежей тела V_r, в которых значением атрибута A является a, и {c} – множество значений атрибута C, взятых из всех кортежей тела V_r, в которых значением атрибута A является a. Тогда очевидно, что в тело значения переменной отношения r PROJECT {A, B} будут входить все кортежи вида {a, b_i}, где b_i Î {b}, и если некоторый кортеж {a, b_j} входит в тело значения переменной отношения r PROJECT {A, B}, то b_j Î {b}. Аналогичные рассуждения применимы к r PROJECT {A, C}. Очевидно, что из этого следует, что при наличии многозначной зависомости A ®® B | C в переменной отношения r{A, B, C} декомпозиция r на проекции r PROJECT {A, B} и r PROJECT {A, C} является декомпозицией без потерь.

Для доказательства необходимости условия теоремы предположим, что декомпозиция переменной отношения r {A, B, C} на проекции r PROJECT {A, B} и r PROJECT {A, C} является декомпозицией без потерь для любого допустимого значения V_r переменной отношения r. Мы должны показать, что в теле ТСПЗ значения-отношения V_r поддерживается ограничение

IF (<сн, пн₁, сз₁> Î ТСПЗAND <сн, пн₂, сз₂> Î ТСПЗ)
THEN (<сн, пн₁, сз₂> Î ТСПЗAND <сн, пн₁, сз₂> Î ТСПЗ)

Действительно, пусть в ТСПЗ входят кортежи <сн, пн₁, сз₁> и <сн, пн₂, сз₂>. Предположим, что <сн, пн₁, сз₂> Ï ТСПЗ OR <сн, пн₁, сз₂> Ï ТСПЗ. Но в тело значения переменной отношения r PROJECT {A, B} входят кортежи <сн, пн₁> и <сн, пн₂>, а в тело значения переменной отношения r PROJECT {A, C} – <сн, сз₁> и <сн, сз₂>. Очевидно, что в тело значения естественного соединения r PROJECT {A, B} NATURAL JOIN r PROJECT {A, C} войдут кортежи <сн, пн₁, сз₂> и <сн, пн₁, сз₂>, и наше предположение об отсутствии, по крайней мере, одного из этих кортежей в ТСПЗ противоречит исходному предположению о том, что декомпозиция r на проекции r PROJECT {A, B} и r PROJECT {A, C} является декомпозицией без потерь. Тем самым, теорема Фейджина полностью доказана.

Теорема Фейджина обеспечивает основу для декомпозиции отношений, удаляющей “аномальные” многозначные зависимости, с приведением отношений в четвертую нормальную форму.

Определение 8.2. Четвертая нормальная форма

Переменная отношения r находится в четвертой нормальной форме (4NF) в том и только в том случае, когда находится в BCNF, и все MVD r являются FD с детерминантами – возможными ключами отношения r. Конец определения.

Грубо говоря, 4NF является BCNF, в которой многозначные зависимости вырождаются в функциональные (позволим себе на один момент отказаться от сокращений). Понятно, что отношение СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН не находится в 4NF, поскольку детерминант MVD СЛУ_НОМ®® ПРО_НОМи СЛУ_НОМ®®СЛУ_ЗАДАНне является возможным ключом, и эти MVD не являются функциональными. С другой стороны, отношения СЛУЖ_ПРО_НОМи СЛУЖ_ЗАДАНИЕнаходятся в BCNF и не содержат MVD, отличных от FD с детерминантом – возможным ключом. Поэтому они находятся в 4NF.