Лекція № 10-11

РОЗДІЛ ІІ. електричні кола змінного струму

Питання самоконтролю

§ Що таке електричне коло?

§ Яка функція джерела у колі?

§ Яка функція приймача у колі?

§ Які бувають електричних кола?

§ Якими основними поняттями оперують у колі?

§ У чому різниця між лінійним та нелінійним колами, привести приклад?!

§ Чому при розрахунках застосовують ідеалізовану модель реального кола?

§ У чому різниця між реальною схемою і ідеалізованою моделлю реального кола?

§ Дати характеристику джерелу ЕРС!?

§ Дати характеристику джерелу струму;

§ Що таке активний опор?

§ Що таке індуктивність?

§ Що таке ємність?

§ Що таке взаємна індукція?

§ Що таке взаємна ємність?

§ Які елементи схеми заміщуються та при яких умовах?

§ Що таке гілка, вузол, контур?.

§ Як здійснюється аналіз лінійних кіл постійного струму?

§ В чому різниця між лінійним та нелінійним елементами схеми?

ТЕМА: Перехідні процеси

МЕТА: Підготування до аналізу і розрахунку кіл змінного струму.

ПЛАН

1. Поняття перехідних процесів в електричних колах.

2. Загальні закони комутації

3. Сутність операторного метода

4. Зображення найпростіших функцій

5. Закони Кірхгофа в операторній формі

6. Рекомендований порядок розрахунку перехідних процесів операторним методом

7. Приклади розрахунку перехідного процесу операторним методом

8. Питання самоконтролю

Викладання матеріалу

1. Поняття перехідних процесів в електричних колах

Перехідні процеси є процеси переходу від одного сталого стану до іншого сталого стану. Зміни параметрів елементів схеми або зміна режиму роботи самої схеми називаються комутаціями.

Безпосередня зміна сигналів струму і напруги в часі може бути визначене класичним методом розрахунку електричних ланцюгів. Основою цього способу є складання диференціальних рівнянь, що описують стан ланцюга, і їх інтеграцію, причому кількість похідних визначається числом елементів-накопичувачів в заданому ланцюзі.

Відповідно до класичного методу знаходять приватне і загальне вирішення однорідних диференціальних рівнянь. Приватне рішення обумовлене вимушеною дією джерел e(t) або i(t). Загальне рішення знаходять за відсутності джерел. В цьому випадку струми і напруга називаються вільними і завжди затухають за рахунок втрат в ланцюзі. У разі комплексного коріння процеси в ланцюзі можуть бути такими, що коливають за рахунок власних коливань ланцюга, але також убуватимуть в часі при позитивній речовій частині.

2. Загальні закони комутації

У природі дотримується принцип безперервності в часі потокозчеплення індуктивності і електричного заряду ємності.

(1)

Потокозчеплення стрибком змінитися не може

(2)

Заряд ємності стрибком змінитися не може

Отже:

· по 1-у закону комутації в перший момент після комутації струм в котушці індуктивності стрибком змінитися не може i_{L (0+ )} = i_{L (0- )};

· по 2-у закону комутації в перший момент після комутації напруга на ємності стрибком змінитися не може U_C(0+) = U_C(0-) .

За початок відліку перехідного процесу береться час, рівний нулю, початкові значення струму і напруги до комутації визначаються з початкових умов.

Аналіз перехідних процесів в лінійних ланцюгах із зосередженими параметрами зводиться до вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь на основі законів Кірхгофа.

При вмиканні ланцюга з R, L на постійну напругу (рис.1)

Рис.1. Вмикання кола з R, L

рівняння ланцюга має вигляд:

(3)

Загальне вирішення рівняння може бути знайдене методом накладення примушеного і вільного режимів.

(4)

де струм примушеного режиму при , або приватне вирішення неоднорідного рівняння; струм вільного режиму або загальне рішення однорідного рівняння (з нульовою правою частиною).

У загальному випадку Число доданків залежить від порядку рішення, або числа накопичувачів енергії.

Вільні процеси досліджуються для визначення стійкості системи. У стійкій системі вільні процеси повинні затухати.

Примушений режим визначає новий стан електричного кола після закінчення перехідного процесу.

До комутації (до включення) струм в ланцюзі був відсутній I_L(0-) = 0. На підставі 1-го закону комутації I_L(0+) = I_L(0-) струм в індуктивності у перший момент після комутації рівний струму до комутації. У нашому прикладі струм рівний 0.

Струм знаходимо у вигляді суми примушеної і вільною складових

де струм примушеного режиму при ,

Вільну складову знаходимо з рівняння:

(5)

Вирішення цього рівняння (5):

(6)

де корінь характеристичного рівняння.

(7)

де А - постійна інтегрування, визначувана з початкових умов при t = 0 з використанням законів комутації, в окремому випадку першого закону для індуктивності

I_L(0+) = I_L(0-) = 0 = i_пр(0)+i_віл(0)= U/R + A=0 (8)

Враховуючи, що

Рішення матиме вигляд:

(9)

що визначає напругу на елементах:

(10)

Вид кривих струму і напруги на елементах ланцюга приведений на рис.2.

Рис. 2. Вид кривих струму і напруги на елементах ланцюга

При від’єднанні ланцюга з індуктивним опором від джерела постійного струму автоматичним вимикачем струм не відразу стає рівним нулю, оскільки в котушці індукується ЕРС такої величини, при якій напруга між розімкненими контактами пробиває повітряний проміжок. Виникає електрична дуга, бо якій ланцюг залишається замкнутим до тих пір, поки вся енергія магнітного поля не перетвориться в тепло в електричній дузі і в опорі котушки.

3. Сутність операторного метода

Стан лінійного електричного кола з зосередженими параметрами після комутації описується системою неоднорідних лінійних, інтегро-диференційних рівнянь, які складено за законами Кірхгофа. У складі цієї системи, в загальному випадку, входять функції часу (струми, напруги), їх похідні та інтеграли. Одним зі способів рішення подібної системи рівнянь є операторний метод.

Сутність операторного метода полягає в тому, що функції часу , які називають оригіналами, замінюються їх операторними зображеннями . Відповідність між оригіналом та зображенням встановлюють за допомогою функціонального перетворення, яке обирається таким чином, щоб операції диференціювання і інтегрування оригіналів замінювались алгебраїчними операціями над їх зображеннями. У данному разі інтегро-диференційні рівняння для оригіналів переходять в алгебраїчні рівняння для їх зображення, тоб-то здійснюється алгебраізація початкової системи диференційних рівнянь. В наслідок рішення алгебраїчної системи рівнянь в операторній формі визначається зображення іскомої функції, а потім по цьому зображенню – відповідно їм оригінали, тоб-то функції часу.

Зв’язок між оригіналом та його зображенням встановлюється за допомогою інтегрального перетворення Лапласа

(11)

де комплексне число, яке називається оператором.

Домовимось записувати перетворення Лапласу у виді:

(12)

а відповідність між оригіналом і його зображенням як:

(13)

Кожен оригінал має єдине зображення. У відповідність оригінал однозначно визначається по власному зображенню.

Приведемо без виводу формули для зображень похідних від оригіналу. Якщо:

(14)

тоді

(15)

де початкове значення функції; початкове значення її похідної.

Аналогічно можно знайти зображення похідної функції будь-якого порядку.

Якщо, то зображення інтеграла від функції знаходиться з відношення:

(16)

Таким чином, застосовуючи функціональне перетворення Лапласа, ми замінюємо операції диференціювання і інтегрування функцій-оригіналів алгебраїчними операціями множення и ділення на оператор зображень цих функцій.

При складанні рівнянь кола в операторній формі автоматично враховуються всі фізичні початкові умови – значення струмів в котушках і напруг на затискачах конденсаторів при . Зникає необхідність визначення залежних початкових умов та постійних інтегрування.

Додатково слід знати, що при розрахунку перехідних процесів операторним методом необхідно не тільки знаходити зображення функції, але й вирішувати зворотню задачу – находити функції часу (оригінали) по їх зображенням.

Вирішення системи алгебраїчних рівнянь для операторного зображення, в загальному випадку, має наступний вид:

(17)

де дійсні числа; ступеневі багаточлени, які не мають загальних коренів.

Перехід від зображення до оригіналуздійснюється за теоремою розкладання. З умови визначаються корні , кількість яких може бути більше за число коренів характеристичного рівняння. Додаткові корні з’являються за рахунок зображення зовнішніх джерел.

В залежності від виду коренів обирається відповідна форма запису теореми розкладання. Можливі наступні варіанти:

- прості корені :

(18)

- корені комплексно спряженні :

(19)

- корені, що рівні кратності :

(20)

4. Зображення найпростіших функцій

Теорема розкладання разом з іншими властивостями перетворення Лапласа дає можливість скласти таблиці оригіналів та зображень, які полегшують та прискорюють розрахунки перехідних процесів оператор ним методом. У таблиці 1. приведені співвідношення між оригіналами та зображеннями, які часто зустрічаються у разрахунковій практиці.

Таблиця 1.

Оригінал	Зображення F(p)