Предельный переход в неравенствах

Теорема 7.1. Пусть все члены сходящейся последовательности удовлетворяют неравенству . Тогда и предел этой последовательности удовлетворяет этому неравенству

.

Замечание 7.1. Если для членов сходящейся последовательности выполняется строгое неравенство , то предел этой последовательности может равняться этому числу: .

Пример 7.1. Все члены последовательности -строго положительны (строго отрицательны), т.е. . Однако

.

Теорема 7.2. Пусть все члены сходящихся последовательностей и удовлетворяют неравенству . Тогда их пределы удовлетворяют этому неравенству

.

Замечание 7.2. Если для членов сходящихся последовательностей и выполняется строгое неравенство , то их пределы могут быть равными

.

Теорема 7.3. Пусть все члены сходящейся последовательности принадлежат промежутку , т.е. . Тогда и предел этой последовательности принадлежит этому промежутку, т.е. .

Замечание 7.3. Если все члены сходящейся последовательности принадлежат промежутку , т.е. , то предел этой последовательности может не принадлежать этому промежутку, т.е. могут выполняться нестрогие неравенства .

Теорема 7.4. Пусть все члены последовательностей , и удовлетворяют неравенствам . Тогда если последовательности и сходятся и имеют общий предел , то последовательность также сходится и имеет место равенство

.

8. Теоремы существования. Число

Теорема 8.1. Монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел и имеет место равенство .

Следствие 8.1. Последовательность , члены которой определяются равенством , является строго монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Из теоремы 8.1 следует, эта последовательность имеет предел и обозначается символом «»:

Число является иррациональным и приближенно равно .

Следствие 8.2. Пусть последовательность стремится к нулю и последовательность к бесконечности, т.е. и . Тогда справедливы равенства

.

Теорема 8.2. Монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел и имеет место равенство .

Теорема 8.3. Пусть все члены последовательностей , и удовлетворяют неравенствам . Тогда если последовательности и сходятся и имеют общий предел , то последовательность также сходится и имеет место равенство

.