Структурная формула механизма

В связи с развитием промышленности возникла все увеличивающаяся потребность в машинах разного рода и, как следствие, в синтезе механизмов с заранее заданными свойствами. В 1869 г. П.Л. Чебышев выводит структурную формулу плоского механизма, известную теперь как формула Чебышева, позволяющую определить ещё на бумаге возможность движения звеньев механизма:

W=3n-2P₅-P₄

где W –степень подвижности механизма или число возможных ведущих звеньев,

n – число подвижных звеньев,

P_5, P₄ -число кинематическихпар соответственно пятого и четвертого классов.

В 1887 г. П.И. Сомов, в 1890 г. Х.И. Гохман и в 1923 г. А.П. Малышев выводят структурную формулу пространственного механизма, которую часто называют формулой Сомова - Малышева или формулой Малышева:

W=6n-P₁-2P₂-3P₃-4P₄-5P₅,

где P_i – число кинематических пар i-го класса (i=1,2,…,5).

Идея построения этой формулы: механизм состоит из nподвижных звеньев, каждое из которых, будучи свободным, имело бы 6 степеней свободы. Каждая кинематическая пара I –го класса отнимает у звена одну степень свободы; каждая кинематическая пара II –го класса отнимает у звена две степени свободы и так далее. Аналогично и для структурной формулы плоского механизма с учетом того, что в плоскости 3, а не 6 степеней свободы.

Рассмотрим примеры плоских механизмов, в которых буквами обозначены кинематические пары, а цифрами – звенья.

ПРИМЕР 1.

В этом примере (рис.2.1) кинематические пары А,С,Д,Е – вращательные, В – высшая и F – поступательная; звенья: 1 – ведущее (кулачок), 2 – коромысло, 3 – шатун, 4 – ползун, 0 – стойка; в дальнейшем стойку нумеровать не будем.

Рис.2.1 Пример кулачково-рычажного механизма

Кинематические пары А,С,Д,Е,F – низшие. Тогда по формуле Чебышева получаем

W= 3n – 2 P₅ – P₄ = 3*4-2*5-1=1.

То есть, степень свободы этого механизма равна единице и поэтому может быть только одно ведущее звено - кулачок.

ПРИМЕР 2.

В этом механизме (рис.2.2) четыре подвижных звена: 1 и 4 – кривошипы, 2 и 3 – шатуны; пять низших (вращательных) кинематических пар: A,B,C,D,E. Поэтому получаем

W= 3n – 2 P₅ – P₄ = 3*4-2*5-0= =2.

То есть, степень свободы равна двум и должно быть два ведущих звена, что и показано на схеме механизма.

Рис.2.2 Пример рычажного механизма

ПРИМЕР 3.

В схеме рис.2.3 все кинематические пары вращательные. Треугольники BCM и CDF являются каждый одним звеном. Можно заметить, что всегда, когда хотят создать жесткую стержневую систему, организуют ее с помощью треугольников. Итак, этим примером задана ферма, а не механизм, т.к. степень свободы кинематической цепи равна нулю:

W= 3n – 2 P₅ – P₄ = 3*6-2*9 =0.

Рис.2.3 Пример не механизма, а фермы

ПРИМЕР 4.

Степень подвижности кинематической цепи рис.2.4 равна нулю:

W= 3n – 2 P₅ – P₄ = 3*4-2*6-0=0,

хотя ясно, что эта цепь является механизмом и степень подвижности должна быть равна единице. Появившееся несоответствие объясняется наличием в схеме цепи пассивной связи. Если в качестве ведущего звена выбрать звено 1, то пассивной связью может быть звено 3 или звено 4. С понятием «пассивная связь» мы познакомимся позже.

Рис.2.4 Пример механизма с пассивной связью

ПРИМЕР 5.

В этом примере (рис.2.5) кинематическая пара В – высшая (контакт кулачка 1 и ролика 2), а пара С – низшая (вращательная пара соединения ролика 2 с толкателем 3). Кроме того, пара А – вращательная и пара D – поступательная.

Рис.2.5 Пример кулачкового механизма

Степень подвижности этого механизма равна двум:

W= 3n – 2 P₅ – P₄ = 3*3-2*3-1=2,

хотя должно быть понятно, что здесь может быть только одно ведущее звено – кулачок 1. Возникшее противоречие объясняется лишней степенью свободы, которой обладает ролик 2, и об этом тоже мы теперь поговорим.