Распределения вероятностей
Равномерное распределение случайной величины было исторически первым стимулом к исследованию вероятностных процессов, поскольку на его основе возник метод статистических испытаний.
Статистические испытания предполагают многократное повторение однотипных испытаний. Результат любого отдельного испытания случаен и, сам по себе, какого-либо интереса не представляет.
В то же время совокупность большого числа подобных результатов оказывается весьма полезной. Она обнаруживает определенную устойчивость (ее называют статистической устойчивостью), которая позволяет количественно описать явление, исследуемое в данных испытаниях.
Понятие устойчивости испытанийявляется фундаментальным для теории вероятностей, поскольку оно применимо к исследованиям объективных реальных процессов. Но парадоксальным в этой картине является то, что сама по себе регистрация сведений об устойчивых (в вероятностном смысле) проявлениях процессов не даёт никакой информации, почему так происходит.
Причинно-следственные зависимости, как это не покажется странным, лежат вне компетенции теории вероятностей. Путь к использованию теории вероятности проложен через гипотезу, что изучаемое явление действительно
может быть обобщено численными характеристиками (критериями) теории вероятностей. В отношении самой реальности утвердилось мнение, что во многих массовых процессах складываются вполне устойчивые закономерности, которые могут быть, с пользой для дела, обобщены методами теории вероятностей.
В названных реальных процессах складывается некоторая устойчивая группа основных факторов, которая и обеспечивает конкретные вероятностные свойства реальных процессов.
Равномерное распределение плотности вероятностей,впервые было использовано в игорных домах. Идеально простое, идаже примитивное, устройство рулетки исключало всякую подтасовку результатов игры.
Заметим, что это физическое устройстволегло в основу имитационного моделирования, в котором, как раз, и используется физическое равномерное распределение, которое можно трансформировать в другие виды распределений расчётным путём.
Таким образом, возникла возможность имитации реальных процессов путём использования результатов статистических испытаний.
Второе, и более употребительное название такого способа имитации реальных процессов «метод Монте-Карло».
Конечно, город Монте-Карло никакого отношения к разработке метода не имеет. Город Монте-Карло (столица княжества Монако), прославился своими игорными домами и рулеткой. А рулетка является идеальным средством для физической генерации значений случайной величины с равномерным распределением плотности вероятностей.
Приведём пример практического использования равномерного распределения. Функцией распределения двумерной случайной величины
(X, Y)называют функцию F(x,y),
y a определяющую для каждой пары чисел x, y,
вероятность того, что X примет значение,
меньшее x, и при этом Y примет значение,
меньшее y. Преобразуя генерации значений
b случайной величины, распределённые от
нуля до единицы, всегда можно выполнить
равномерно заполнение некоторого контура
равномерно размещёнными точками, как
это показано на рис.15.4.4. Представим себе
задачу, в которой необходимо вычислить
площадь s,внутри замкнутого контура,
Рис. 15.4.4.График распределения прямоугольника площадью Sобщ.
двумерной случайной величины (X, Y). ( Площадь Sобщ = а × b)
Зная общую площадь Sобщпрямоугольника, которая легко вычисляется, можно определить площадь s криволинейного контура: s = (n/N)Sобщ ,где n – число точек, попавших внутрь криволинейного контура,N – общее число точек, генерированных для решения данной задачи.
Предполагается, что координаты точек криволинейного контура известны: они вводятся в программу расчёта как исходные данные. Координаты каждой очередной генерируемой точки также известны.
Остаётся ввести в программу счётчик общего количества генерируемых точек, и выделить в счёте точки, которые при проведении программной операции сравнения относятся к точкам, попавшим внутрь контура