Изгиб прямоугольных плит, шарнирно опертых по всему контуру. Решение Навье

Ранее показано, что решением плиты является функция прогибов, которая должна удовлетворять основному уравнению изгиба плит и граничным условиям (условиям опирания плиты). Для плит, шарнирно опертых по всему контуру, Навье предложил искать решение в виде двойного тригонометрического ряда по синусам. Для плиты с размерами в плане и (Рис. 33) ряд имеет вид

(30)

При этом граничные условия записываются следующим образом

Рисунок 33. К решению Навье.

Грань АВ (): 1) и 2) .

Грань СD (): 3) и 4) .

Грань ВC (): 5) и 6) .

Грань AD (): 7) и 8) . (31)

Ряд (30) обращается на контуре в ноль, поэтому кинематические граничные условия: (1, 3, 5, 7) выполняются. Чтобы проверить выполняются ли статические граничные условия (2, 4, 6, 8) воспользуемся выражениями изгибающих моментов через прогибы плиты (15-а) и (17-а)

и , т.е.

необходимо выразить вторые частные производные от ряда (30).

(32)

Ряды (32) содержат такие произведения синусов, как и ряд (30), и так же обращаются в ноль на контуре плиты. Т.е. изгибающие моменты на контуре равны нулю, истатические граничные условия выполняются. Таким образом, ряд (30) удовлетворяет всем граничным условиям плиты, шарнирно опертой повсему контуру.

Проверим при каких условиях функция прогибов, взятая в виде ряда (30), будет удовлетворять основному уравнению изгиба плит (24).

Подставим ряд (30) в уравнение Софи Жермен и Лагранжа, дл чего вычислим частные производные функции прогибов

Складывая полученныепроизводные, слева получим правую часть основного уранения изгиба плит

, (33)

т.е. основное уравнение изгиба плит будет удовлетворятся, если внешняя нагрузка допускает разложение в двойной тригонометрический ряд (при постоянной цилиндрической жесткости ). Для этого функция внешней нагрузки должна удовлетворять условиям Дирихле (иметь конечное число разрывов, на контуре должна принимать конечные значения и иметь производные любого порядка). Сравнивая разложение внешней нагрузки в двойной ряд (коэффициенты этого разложения известны) с рядом (33), полученным при подстановке функции прогиба в основное уравнение изгиба, можем определить коэффициеты членов ряда , сравнивая ряды почленно (т.е. приравнивая члены рядов, имеющие одинаковые значения и ). Можно для определения коэффициентов членов ряда обойтись без разложения нагрузки в двойной ряд, а воспользоваться свойством ортогональности тригонометрических функций. С этой целью умножим левую и правую части уравнения (33) на произведение

ЛИТЕРАТУРА

1. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести: Учебник для студ. втузов. – М.: Высш.шк., 1968. – 512с.

2. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости к решению инженерных задач: Учеб. пособие для втузов. – М.: Высш.шк., 1974. – 200с.

3. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 1. / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. – М.: Машиностроение, 1968. – 812с.

4. Короткова С.Е. Механика клеевых соединений. – Алчевск: ДГМИ, 1998. – 187 с.

5. Короткова С.Е. Особенности постановки задачи концентрации напряжений в клеевом соединении с жестким швом дифференциально – разностным методом // Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. 67. – Киев: КНУБА, 2000. – С.104-110.

6. Короткова С.Е. Сочетание метода сил с дифференциально – разностным методом при расчете клеевых соединений // Строительные конструкции. Вып. 49. – Киев: НИИСК, 1998. – С.81-90.

7. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Некоторые задачи прикладной теории упругости в конечных разностях. – Киев: Наук. Думка, 1952. – 330с.

8. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. – Киев: Наук. Думка, 1964. – 260с.

9. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. // Библиотека расчетчика.– М.: Машиностроение, 1976. – 278с.